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Number Systems & Boolean Algebra

संख्या पद्धतियाँ एवं बूलियन बीजगणित

1 topic · 5 cards

1. Number Systems, Encoding and Boolean Algebra

संख्या पद्धतियाँ, कूटन और बूलियन बीजगणित

Bases, conversions and negative numbers

System	Base	Digits
binary	2	0, 1
octal	8	0–7
decimal	10	0–9
hexadecimal	16	0–9, A–F

Conversions

आधार, रूपांतरण और ऋणात्मक संख्याएँ

पद्धति	आधार	अंक
द्विआधारी	2	0, 1
अष्टाधारी	8	0–7
दशमलव	10	0–9
षोडशाधारी	16	0–9, A–F

रूपांतरण

द्विआधारी से दशमलव — स्थानीय मान जोड़िए: (101101)₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45
दशमलव से द्विआधारी — 2 से भाग देकर शेषफल नीचे से ऊपर पढ़िए; भिन्न के लिए 2 से गुणा कीजिए और पूर्णांक भाग ऊपर से नीचे पढ़िए: (0.625)₁₀ = (0.101)₂
द्विआधारी से अष्टाधारी या षोडशाधारी — द्विआधारी बिंदु से तीन-तीन या चार-चार बिट के समूह बनाइए: 101101 = 101 101 = (55)₈ = 0010 1101 = (2D)₁₆

ऋणात्मक पूर्णांक — n-बिट शब्द में:

एक का पूरक हर बिट उलटता है
दो का पूरक हर बिट उलटकर 1 जोड़ता है; 8 बिट में −5 है 11111011
n-बिट दो के पूरक का परिसर −2ⁿ⁻¹ से 2ⁿ⁻¹ − 1 है — 8 बिट के लिए −128 से +127 — और इसमें एक ही शून्य है

जाल: 8-बिट दो के पूरक का शब्द −128 तक जाता है पर केवल +127 तक — परिसर सममित नहीं है।

Encoding characters — ASCII, ISCII and Unicode

Code	Width	Covers
ASCII	7 bits — 128 characters	English letters, digits, punctuation, control codes
ISCII	8 bits	Indian scripts — adopted as a standard in 1991
Unicode	a code point for every character of every script	Devanagari sits at U+0900 to U+097F

Values worth knowing in ASCII — 'A' = 65, 'a' = 97, '0' = 48, space = 32; a capital and its small letter differ by 32, a single bit.

Unicode's encodings

UTF-8 — variable, 1 to 4 bytes; ASCII text is unchanged, which is why it dominates the web
UTF-16 — 2 or 4 bytes
UTF-32 — a fixed 4 bytes for every character

a Devanagari letter such as क takes 3 bytes in UTF-8
storing text in Unicode is what lets one document mix Hindi, Urdu and English without garbling

Units — 4 bits = a nibble · 8 bits = a byte · 1 KB = 1024 bytes · 1 MB = 1024 KB.

The trap: ASCII is a 7-bit code with 128 characters — the 8-bit 'extended ASCII' tables are vendor additions, not the standard.

अक्षरों का कूटन — ASCII, ISCII और यूनिकोड

कूट	चौड़ाई	क्या समेटता है
ASCII	7 बिट — 128 अक्षर	अंग्रेज़ी अक्षर, अंक, विराम चिह्न, नियंत्रण कूट
ISCII	8 बिट	भारतीय लिपियाँ — 1991 में मानक के रूप में अपनाया गया
यूनिकोड	हर लिपि के हर अक्षर के लिए एक कोड पॉइंट	देवनागरी U+0900 से U+097F में है

ASCII में जानने योग्य मान — 'A' = 65, 'a' = 97, '0' = 48, स्पेस = 32; बड़े और छोटे अक्षर में 32 का अंतर है, एक बिट का।

यूनिकोड के कूटन

UTF-8 — परिवर्ती, 1 से 4 बाइट; ASCII पाठ अपरिवर्तित रहता है, इसीलिए वेब पर इसका प्रभुत्व है
UTF-16 — 2 या 4 बाइट
UTF-32 — हर अक्षर के लिए निश्चित 4 बाइट

क जैसा देवनागरी अक्षर UTF-8 में

Boolean algebra — the laws and simplification

Law	OR form	AND form
identity	A + 0 = A	A · 1 = A
null	A + 1 = 1	A · 0 = 0
idempotent	A + A = A	A · A = A
complement	A + A′ = 1	A · A′ = 0
absorption	A + AB = A	A(A + B) = A
distributive	A + BC = (A + B)(A + C)	A(B + C) = AB + AC
De Morgan	(A + B)′ = A′B′	(AB)′ = A′ + B′

involution — (A′)′ = A
duality — swapping + with ·, and 0 with 1, turns any law into another valid law

Simplifying

A + A′B = (A + A′)(A + B) = A + B
AB + AB′ = A(B + B′) = A
(A + B)(A + B′) = A + BB′ = A

Universal gates — NAND and NOR can each build every other gate: NOT A is A NAND A; AND is a NAND followed by a NOT.

The trap: the distributive law A + BC = (A + B)(A + C) holds in Boolean algebra but not in ordinary arithmetic — students who refuse it cannot simplify A + A′B.

बूलियन बीजगणित — नियम और सरलीकरण

नियम	OR रूप	AND रूप
तत्समक	A + 0 = A	A · 1 = A
शून्य	A + 1 = 1	A · 0 = 0
वर्गसम	A + A = A	A · A = A
पूरक	A + A′ = 1	A · A′ = 0
अवशोषण	A + AB = A	A(A + B) = A
वितरण	A + BC = (A + B)(A + C)	A(B + C) = AB + AC
डी मॉर्गन	(A + B)′ = A′B′	(AB)′ = A′ + B′

द्वि-निषेध — (A′)′ = A
द्वैतता — + को · से, और 0 को 1 से बदलने पर कोई भी नियम दूसरा मान्य नियम बन जाता है

सरलीकरण

A + A′B = (A + A′)(A + B) = A + B
AB + AB′ = A(B + B′) = A
(A + B)(A + B′) = A + BB′ = A

Gates, adders and Karnaugh maps

Gate	Output is 1 when
AND	all inputs are 1
OR	any input is 1
NOT	the input is 0
NAND	not all inputs are 1
NOR	all inputs are 0
XOR	the inputs differ — A′B + AB′
XNOR	the inputs are equal

Adders

half adder — sum = A ⊕ B, carry = AB
full adder — adds three bits: sum = A ⊕ B ⊕ Cᵢₙ, carry = AB + Cᵢₙ(A ⊕ B); two half adders and an OR gate make one

Canonical forms — a function can be written as a sum of minterms (SOP) or a product of maxterms (POS).

Karnaugh maps — cells are arranged in Gray code so neighbours differ in one variable; group 1s in blocks of 1, 2, 4 or 8, as large as possible, wrapping round the edges.

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3) covers every cell with A = 0, so F = A′
F(A, B, C) = Σm(1, 3, 5, 7) covers every cell with C = 1, so F = C

The trap: a K-map group must contain a power of two cells — a group of three or six is never allowed.

गेट, योजक और कार्नो मानचित्र

गेट	निर्गत 1 कब
AND	सभी निवेश 1 हों
OR	कोई भी निवेश 1 हो
NOT	निवेश 0 हो
NAND	सभी निवेश 1 न हों
NOR	सभी निवेश 0 हों
XOR	निवेश भिन्न हों — A′B + AB′
XNOR	निवेश समान हों

योजक

अर्ध योजक — योग = A ⊕ B, हासिल = AB
पूर्ण योजक — तीन बिट जोड़ता है: योग = A ⊕ B ⊕ Cᵢₙ, हासिल = AB + Cᵢₙ(A ⊕ B); दो अर्ध योजक और एक OR गेट मिलकर एक बनाते हैं

मानक रूप — किसी फलन को मिनटर्मों के योग (SOP) या मैक्सटर्मों के गुणनफल (POS) के रूप में लिखा जा सकता है।

कार्नो मानचित्र — कोष्ठ ग्रे कोड में रखे जाते हैं ताकि पड़ोसी एक ही चर में भिन्न हों; 1 को 1, 2, 4 या 8 के यथासंभव बड़े खंडों में समूहित कीजिए, किनारों से घूमकर भी।

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3) हर उस कोष्ठ को ढकता है जहाँ A = 0, अतः

Points to Remember

(101101)₂ = 45 = (55)₈ = (2D)₁₆ · (0.625)₁₀ = (0.101)₂
group bits in threes for octal, fours for hex
two's complement = invert + 1 · −5 = 11111011 · 8-bit range −128 to +127 · one zero
ASCII 7-bit, 128 · 'A' 65, 'a' 97, '0' 48 · ISCII 1991 · Unicode — Devanagari U+0900–U+097F · UTF-8 1–4 bytes
De Morgan: (A + B)′ = A′B′, (AB)′ = A′ + B′ · absorption A + AB = A · A + A′B = A + B
NAND, NOR universal · XOR = A′B + AB′
half adder: sum A ⊕ B, carry AB · full adder = two half adders + OR
K-map — Gray code order · groups of 1, 2, 4, 8 · Σm(0–3) = A′ · Σm(1, 3, 5, 7) = C
Exam tip: before simplifying, try the absorption and A + A′B patterns — most textbook expressions collapse in one of those two steps

स्मरणीय बिंदु

(101101)₂ = 45 = (55)₈ = (2D)₁₆ · (0.625)₁₀ = (0.101)₂
अष्टाधारी के लिए तीन, षोडशाधारी के लिए चार बिट के समूह
दो का पूरक = उलटो + 1 · −5 = 11111011 · 8-बिट परिसर −128 से +127 · एक शून्य
ASCII 7-बिट, 128 · 'A' 65, 'a' 97, '0' 48 · ISCII 1991 · यूनिकोड — देवनागरी U+0900–U+097F · UTF-8 1–4 बाइट
डी मॉर्गन: (A + B)′ = A′B′, (AB)′ = A′ + B′ · अवशोषण A + AB = A · A + A′B = A + B
NAND, NOR सार्वत्रिक · XOR = A′B + AB′
अर्ध योजक: योग A ⊕ B, हासिल AB · पूर्ण योजक = दो अर्ध योजक + OR
K-मानचित्र — ग्रे कोड क्रम · 1, 2, 4, 8 के समूह · Σm(0–3) = A′ · Σm(1, 3, 5, 7) = C
परीक्षा टिप: सरलीकरण से पहले अवशोषण और A + A′B के ढाँचे आज़माइए — पाठ्यपुस्तक के अधिकांश व्यंजक इन्हीं दो में से किसी एक चरण में सिमट जाते हैं