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Sets, Relations & Functions

समुच्चय, संबंध एवं फलन

1 topic · 5 cards

1. Sets, Relations and Functions

समुच्चय, संबंध एवं फलन

A **set** is a well-defined collection of distinct objects, with fundamental operations: **union (A∪B)**, **intersection (A∩B)**, **difference (A−B)**, and **complement (A')**. **Venn diagrams** visually represent these operations using overlapping circles, making abstract set relationships immediately visible. - Understanding set operations is foundational for probability theory since probability calculations frequently involve union/intersection of events - The **cardinality formula** n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) is a frequently tested practical calculation derived directly from these basic operations

एक **समुच्चय** भिन्न वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है, मूलभूत संक्रियाओं के साथ: **संघ (A∪B)**, **सर्वनिष्ठ (A∩B)**, **अंतर (A−B)**, और **पूरक (A')**। **वेन आरेख** अतिव्यापी वृत्तों का उपयोग करके इन संक्रियाओं को दृष्टिगत रूप से प्रस्तुत करते हैं। - समुच्चय संक्रियाओं को समझना प्रायिकता सिद्धांत हेतु आधारभूत है - **गणनांक सूत्र** n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) एक अक्सर परखी जाने वाली व्यावहारिक गणना है

Sets are classified by their characteristics: **empty/null set** (∅), **finite/infinite sets**, **subset** (A⊆B), and **power set** (the set of ALL possible subsets, containing 2ⁿ elements for a set with n elements). Set operations follow algebraic laws: **commutative**, **associative**, and **De Morgan's Laws** ((A∪B)' = A'∩B' and (A∩B)' = A'∪B'). - De Morgan's Laws are particularly frequently tested, since they require correctly 'flipping' the operation when distributing the complement - The power set's 2ⁿ formula is a useful quick-calculation tool, directly connecting set theory to the combinatorics content covered later in this subject

समुच्चयों को उनकी विशेषताओं से वर्गीकृत किया जाता है: **रिक्त समुच्चय** (∅), **सांत/अनंत समुच्चय**, **उपसमुच्चय** (A⊆B), और **घात समुच्चय** (सभी संभावित उपसमुच्चयों का समुच्चय, n तत्वों वाले समुच्चय हेतु 2ⁿ तत्व)। समुच्चय संक्रियाएँ बीजगणितीय नियमों का पालन करती हैं: **क्रमविनिमेय**, **साहचर्य**, और **डी मॉर्गन के नियम**। - डी मॉर्गन के नियम विशेष रूप से अक्सर परखे जाते हैं - घात समुच्चय का 2ⁿ सूत्र समुच्चय सिद्धांत को इस विषय में बाद में शामिल संयोजिकी सामग्री से सीधे जोड़ता है

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A **relation** from set A to set B is a subset of their Cartesian product (A×B); relations on a SINGLE set are classified by properties: **reflexive** (every element relates to itself), **symmetric** (if a relates to b, then b relates to a), and **transitive** (if a relates to b, and b relates to c, then a relates to c). A relation satisfying ALL THREE properties is called an **equivalence relation** — it partitions the set into distinct, non-overlapping equivalence classes. - Correctly testing whether a given relation satisfies each property is a frequently tested analytical skill - Recognizing equivalence relations' partitioning property connects this abstract concept to practical classification systems

समुच्चय A से समुच्चय B तक एक **संबंध** उनके कार्तीय गुणन (A×B) का एक उपसमुच्चय है; एक एकल समुच्चय पर संबंधों को गुणों से वर्गीकृत किया जाता है: **स्वतुल्य**, **सममित**, और **संक्रामक**। सभी तीन गुणों को संतुष्ट करने वाला संबंध **तुल्यता संबंध** कहलाता है — यह समुच्चय को अलग, गैर-अतिव्यापी तुल्यता वर्गों में विभाजित करता है। - किसी दिए गए संबंध का प्रत्येक गुण को सही ढंग से परखना एक अक्सर परखा जाने वाला विश्लेषणात्मक कौशल है - तुल्यता संबंधों की विभाजन संपत्ति को पहचानना इस अमूर्त अवधारणा को व्यावहारिक वर्गीकरण प्रणालियों से जोड़ता है

A **function** is a special relation where EVERY domain element maps to EXACTLY ONE range element — functions are classified as **one-one (injective)** (different domain elements always map to different range elements), **onto (surjective)** (every range element is mapped to by SOME domain element), and **bijective** (both simultaneously). - Only a **bijective function** has a well-defined **inverse function**, since bijectivity ensures every output corresponds to EXACTLY one input - Distinguishing function types using graphical reasoning (horizontal/vertical line tests) is a frequently tested visual-analytical skill

एक **फलन** एक विशेष संबंध है जहाँ प्रत्येक प्रांत तत्व ठीक एक परिसर तत्व में मानचित्रित होता है — फलनों को वर्गीकृत किया जाता है: **एकैकी**, **आच्छादक**, और **एकैकी-आच्छादक** (दोनों एक साथ)। - केवल एक **एकैकी-आच्छादक फलन** का एक सुपरिभाषित **प्रतिलोम फलन** होता है - आलेखीय तर्क का उपयोग करके फलन प्रकारों को अलग करना एक अक्सर परखा जाने वाला दृश्य-विश्लेषणात्मक कौशल है

The **composition of functions** (f∘g)(x) = f(g(x)) applies one function to the OUTPUT of another — composition is generally NOT commutative (f∘g usually does NOT equal g∘f). For a bijective function f, its **inverse function f⁻¹** satisfies f(f⁻¹(x)) = x — graphically, a function and its inverse are REFLECTIONS of each other across the line y=x. - This chapter's overall progression builds from basic set manipulation toward the more sophisticated functional concepts that underlie calculus topics covered later in this subject - Recognizing that inverse functions require bijectivity directly connects this card's content back to that essential prerequisite condition

**फलनों का संयोजन** (f∘g)(x) = f(g(x)) एक फलन को दूसरे के आउटपुट पर लागू करता है — संयोजन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं है (f∘g सामान्यतः g∘f के बराबर नहीं होता)। एक एकैकी-आच्छादक फलन f हेतु, इसका **प्रतिलोम फलन f⁻¹** f(f⁻¹(x)) = x को संतुष्ट करता है — आलेखीय रूप से, एक फलन और इसका प्रतिलोम रेखा y=x के पार एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं। - इस अध्याय का समग्र क्रम मूल समुच्चय संचालन से इस विषय में बाद में कैलकुलस विषयों के आधार वाली अधिक परिष्कृत फलनात्मक अवधारणाओं तक बढ़ता है - यह पहचानना कि प्रतिलोम फलनों हेतु एकैकी-आच्छादकता आवश्यक है, इस कार्ड की सामग्री को उस आवश्यक पूर्वापेक्षा से जोड़ता है