Sets, Relations & Functions

Relations

• the Cartesian product A × B is the set of ordered pairs (a, b); if n(A) = p and n(B) = q, then n(A × B) = pq
• a relation from A to B is any subset of A × B, so there are 2^(pq) relations from A to B
• its domain is the set of first elements, its range the set of second elements, and B is the codomain

Types of relation on a set A

• an equivalence relation splits A into disjoint equivalence classes; 'a − b is divisible by 3' on the integers gives three classes — remainders 0, 1 and 2
• 'is less than' on the real numbers is transitive but neither reflexive nor symmetric; 'is perpendicular to' among lines in a plane is symmetric only

The trap: the number of relations from A to B is 2^(pq), not pq — pq counts the ordered pairs.

संबंध

• कार्तीय गुणन A × B क्रमित युग्मों (a, b) का समुच्चय है; यदि n(A) = p और n(B) = q, तो n(A × B) = pq
• A से B में संबंध A × B का कोई भी उपसमुच्चय है, इसलिए A से B में 2^(pq) संबंध होते हैं
• पहले अवयवों का समुच्चय उसका प्रांत, दूसरे अवयवों का परिसर, और B सहप्रांत है

समुच्चय A पर संबंधों के प्रकार

• तुल्यता संबंध A को असंयुक्त तुल्यता वर्गों में बाँटता है; पूर्णांकों पर 'a − b, 3 से विभाज्य है' तीन वर्ग देता है — शेषफल 0, 1 और 2
• वास्तविक संख्याओं पर 'से छोटा है' संक्रामक है पर न स्वतुल्य न सममित; समतल की रेखाओं में 'पर लंब है' केवल सममित है

Functions

• a function f : A → B assigns to every element of A exactly one element of B

Counting functions — with n(A) = m and n(B) = n:

• all functions from A to B: nᵐ
• one-one functions (m ≤ n): n!/(n − m)!
• bijections of an n-element set onto itself: n!

Standard real functions

Composition — (g ∘ f)(x) = g(f(x)); in general g ∘ f ≠ f ∘ g. If f(x) = x + 1 and g(x) = x², then (g ∘ f)(x) = (x + 1)² but (f ∘ g)(x) = x² + 1.

The trap: nᵐ counts functions from an m-element set into an n-element set — the exponent is the size of the domain.

फलन

• फलन f : A → B, A के हर अवयव को B का ठीक एक अवयव देता है

फलनों की गिनती — n(A) = m और n(B) = n के साथ:

• A से B के सभी फलन: nᵐ
• एकैकी फलन (m ≤ n): n!/(n − m)!
• n अवयवों के समुच्चय से स्वयं पर एकैकी आच्छादी फलन: n!

मानक वास्तविक फलन

Inverse trigonometric functions

The trigonometric functions are not one-one on ℝ, so each is restricted to a principal value branch before it is inverted.

Identities

• sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, for x in [−1, 1]
• tan⁻¹ x + cot⁻¹ x = π/2
• sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹ x, but cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹ x

Working through a principal value — sin⁻¹(sin 2π/3) is not 2π/3, because 2π/3 lies outside [−π/2, π/2]. Since sin 2π/3 = √3/2, the answer is the angle in the principal range with that sine: π/3.

The trap: sin⁻¹(sin θ) = θ only when θ is already in [−π/2, π/2] — otherwise, find the principal-range angle with the same sine.

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

त्रिकोणमितीय फलन ℝ पर एकैकी नहीं हैं, इसलिए प्रतिलोम लेने से पहले हर एक को मुख्य मान शाखा तक सीमित किया जाता है।

सर्वसमिकाएँ

• sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, x ∈ [−1, 1] के लिए
• tan⁻¹ x + cot⁻¹ x = π/2
• sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹ x, पर cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹ x

मुख्य मान निकालना — sin⁻¹(sin 2π/3), 2π/3 नहीं है, क्योंकि 2π/3, [−π/2, π/2] से बाहर है। चूँकि sin 2π/3 = √3/2, उत्तर मुख्य परिसर का वह कोण है जिसकी ज्या यही है: π/3।

जाल: sin⁻¹(sin θ) = θ केवल तब जब θ पहले से [−π/2, π/2] में हो — अन्यथा उसी ज्या वाला मुख्य-परिसर कोण खोजिए।

Points to Remember

• n elements → 2ⁿ subsets, 2ⁿ − 1 proper · power set
• De Morgan — (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ · n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
• n(A × B) = pq · relations from A to B = 2^(pq)
• reflexive, symmetric, transitive → equivalence → disjoint classes
• one-one, onto, bijective — only bijections have inverses
• functions A → B: nᵐ · one-one: n!/(n − m)! · bijections on n elements: n!
• ∣x∣ → [0, ∞) · signum → {−1, 0, 1} · [x] → integers
• g ∘ f ≠ f ∘ g in general
• principal ranges — sin⁻¹: [−π/2, π/2] · cos⁻¹: [0, π] · tan⁻¹: (−π/2, π/2)
• sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 · cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹ x
• Exam tip: in a counting question on relations or functions, first write down which set is the domain — almost every wrong answer swaps m and n

स्मरणीय बिंदु

• n अवयव → 2ⁿ उपसमुच्चय, 2ⁿ − 1 उचित · घात समुच्चय
• डी मॉर्गन — (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ · n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
• n(A × B) = pq · A से B में संबंध = 2^(pq)
• स्वतुल्य, सममित, संक्रामक → तुल्यता → असंयुक्त वर्ग
• एकैकी, आच्छादक, एकैकी आच्छादी — केवल इसी का प्रतिलोम
• फलन A → B: nᵐ · एकैकी: n!/(n − m)! · n अवयवों पर एकैकी आच्छादी: n!
• ∣x∣ → [0, ∞) · चिह्न → {−1, 0, 1} · [x] → पूर्णांक
• सामान्यतः g ∘ f ≠ f ∘ g
• मुख्य परिसर — sin⁻¹: [−π/2, π/2] · cos⁻¹: [0, π] · tan⁻¹: (−π/2, π/2)
• sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 · cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹ x
• परीक्षा टिप: संबंध या फलन की गिनती वाले प्रश्न में पहले लिखिए कि प्रांत कौन-सा समुच्चय है — लगभग हर ग़लत उत्तर m और n की अदला-बदली है