Units, Dimensions & Kinematics

**Distance** is the total path length covered by an object — always positive, a scalar quantity. **Displacement** is the shortest straight-line change in position from start to end point — a vector quantity, which can be zero even if distance traveled is not (e.g., a round trip). **Speed** = distance/time (scalar). **Velocity** = displacement/time (vector). For motion along a straight line in one direction, speed and the magnitude of velocity are equal, but for any motion involving direction change, they differ. - Average speed = total distance / total time - Average velocity = total displacement / total time - Instantaneous velocity is the rate of change of displacement at a particular instant (dx/dt)

**दूरी** किसी वस्तु द्वारा तय किया गया कुल पथ है — यह सदैव धनात्मक होती है, एक अदिश राशि है। **विस्थापन** आरंभिक से अंतिम बिंदु तक की सबसे छोटी सीधी रेखा में स्थिति परिवर्तन है — एक सदिश राशि, जो शून्य भी हो सकती है यदि तय की गई दूरी शून्य न हो (जैसे एक चक्कर लगाकर वापस आना)। **चाल** = दूरी/समय (अदिश)। **वेग** = विस्थापन/समय (सदिश)। एक ही दिशा में सीधी रेखा में गति के लिए चाल और वेग का परिमाण समान होते हैं, परंतु दिशा परिवर्तन वाली किसी भी गति में ये भिन्न होते हैं। - औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय - औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समय - तात्क्षणिक वेग किसी विशेष क्षण पर विस्थापन के परिवर्तन की दर है (dx/dt)

**Acceleration** is the rate of change of velocity with time (a = dv/dt), a vector quantity. For motion with **uniform (constant) acceleration**, three key equations connect velocity (v), initial velocity (u), acceleration (a), time (t), and displacement (s): - **v = u + at** - **s = ut + ½at²** - **v² = u² + 2as** These equations apply only when acceleration is constant. A useful tool to derive and visualize them is the **velocity-time graph** — its slope gives acceleration, and the area under it gives displacement.

**त्वरण** समय के साथ वेग परिवर्तन की दर है (a = dv/dt), यह एक सदिश राशि है। **एकसमान (नियत) त्वरण** के साथ गति के लिए, तीन प्रमुख समीकरण वेग (v), प्रारंभिक वेग (u), त्वरण (a), समय (t), और विस्थापन (s) को जोड़ते हैं: - **v = u + at** - **s = ut + ½at²** - **v² = u² + 2as** ये समीकरण केवल तभी लागू होते हैं जब त्वरण नियत हो। इन्हें व्युत्पन्न करने और समझने का एक उपयोगी उपकरण **वेग-समय ग्राफ** है — इसका ढाल त्वरण देता है, और इसके नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन देता है।

A **vector** has both magnitude and direction (e.g., displacement, velocity, force), while a **scalar** has only magnitude (e.g., distance, speed, mass). Vectors are represented as arrows, with length showing magnitude and arrowhead showing direction. **Vector addition** follows the **triangle law** or **parallelogram law** — vectors cannot simply be added like numbers unless they're in the exact same direction. For two vectors A and B at angle θ, the resultant magnitude is √(A² + B² + 2AB cosθ). **Resolution of a vector** into components: any vector can be broken into perpendicular components (commonly x and y), e.g., a vector at angle θ has components A cosθ and A sinθ. This is essential for solving 2D motion problems like projectile motion.

**सदिश** राशि का परिमाण और दिशा दोनों होते हैं (जैसे विस्थापन, वेग, बल), जबकि **अदिश** राशि का केवल परिमाण होता है (जैसे दूरी, चाल, द्रव्यमान)। सदिशों को तीर के रूप में दर्शाया जाता है, जिसकी लंबाई परिमाण और तीर का सिरा दिशा दर्शाता है। **सदिशों का योग** **त्रिभुज नियम** या **समांतर चतुर्भुज नियम** का अनुसरण करता है — सदिशों को सामान्य संख्याओं की तरह सीधे नहीं जोड़ा जा सकता जब तक वे ठीक एक ही दिशा में न हों। कोण θ पर स्थित दो सदिशों A और B के लिए, परिणामी का परिमाण √(A² + B² + 2AB cosθ) होता है। **सदिश का विभाजन** घटकों में: किसी भी सदिश को परस्पर लंबवत घटकों (सामान्यतः x और y) में विभाजित किया जा सकता है, जैसे कोण θ पर स्थित सदिश के घटक A cosθ और A sinθ होते हैं। यह प्रक्षेप्य गति जैसी द्विविमीय गति समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।

**Relative velocity** of object A with respect to object B is the velocity A appears to have when observed from B: **v(AB) = v(A) − v(B)**. This applies in one dimension (e.g., two trains moving on parallel tracks — if moving in the same direction, relative velocity is the difference of speeds; if in opposite directions, it's the sum) and extends to two dimensions using vector subtraction (e.g., a boat crossing a river with current, or rain appearing to fall at an angle to a moving observer). - Same direction: relative velocity = |v₁ − v₂| - Opposite directions: relative velocity = v₁ + v₂

वस्तु A का वस्तु B के सापेक्ष **आपेक्षिक वेग** वह वेग है जो A का प्रतीत होता है जब उसे B से देखा जाए: **v(AB) = v(A) − v(B)**। यह एक विमा में लागू होता है (जैसे समांतर पटरियों पर चलती दो रेलगाड़ियाँ — यदि समान दिशा में हों तो आपेक्षिक वेग चालों का अंतर है; यदि विपरीत दिशा में हों तो यह उनका योग है) और सदिश व्यवकलन का उपयोग करके द्विविमा में भी विस्तारित होता है (जैसे धारा वाली नदी पार करती नाव, या किसी गतिमान प्रेक्षक को कोण पर गिरती दिखती वर्षा)। - समान दिशा: आपेक्षिक वेग = |v₁ − v₂| - विपरीत दिशा: आपेक्षिक वेग = v₁ + v₂

**Projectile motion** is two-dimensional motion of an object thrown at an angle to the horizontal, moving only under gravity (no air resistance). It is analyzed by splitting velocity into **horizontal** (constant, since no horizontal force acts) and **vertical** (uniformly accelerated by gravity, g) components. For a projectile launched with speed u at angle θ: - **Time of flight**: T = 2u sinθ / g - **Maximum height**: H = u² sin²θ / 2g - **Horizontal range**: R = u² sin2θ / g Range is maximum when θ = 45°. The path traced is a **parabola**.

**प्रक्षेप्य गति** क्षैतिज से किसी कोण पर फेंकी गई वस्तु की द्विविमीय गति है, जो केवल गुरुत्व के अंतर्गत होती है (वायु प्रतिरोध नहीं)। इसका विश्लेषण वेग को **क्षैतिज** (नियत, क्योंकि कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं करता) और **ऊर्ध्वाधर** (गुरुत्व g द्वारा एकसमान रूप से त्वरित) घटकों में विभाजित करके किया जाता है। वेग u और कोण θ से प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के लिए: - **उड्डयन काल**: T = 2u sinθ / g - **अधिकतम ऊँचाई**: H = u² sin²θ / 2g - **क्षैतिज परास**: R = u² sin2θ / g θ = 45° होने पर परास अधिकतम होता है। प्रक्षेप्य द्वारा बनाया गया पथ एक **परवलय** होता है।