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Units, Dimensions & Kinematics

मात्रक, विमाएँ एवं गतिकी

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1. Units, Dimensions and Kinematics

मात्रक, विमाएँ और शुद्धगतिकी

The SI — seven base units, and the 2019 redefinition

Quantity	Unit	Fixed since 2019 by
length	metre (m)	the speed of light, c
mass	kilogram (kg)	the Planck constant, h
time	second (s)	the caesium-133 hyperfine frequency
electric current	ampere (A)	the elementary charge, e

SI — सात मूल मात्रक, और 2019 की नई परिभाषा

राशि	मात्रक	2019 से किससे निश्चित
लंबाई	मीटर (m)	प्रकाश की चाल, c
द्रव्यमान	किलोग्राम (kg)	प्लांक नियतांक, h
समय	सेकंड (s)	सीज़ियम-133 की अतिसूक्ष्म आवृत्ति
विद्युत धारा	ऐम्पियर (A)	मूल आवेश, e
ताप	केल्विन (K)	बोल्ट्ज़मान नियतांक, k
पदार्थ की मात्रा	मोल (mol)	आवोगाद्रो नियतांक
ज्योति-तीव्रता	कैंडेला (cd)	एक निश्चित दीप्त दक्षता

2019 क्यों महत्त्वपूर्ण है। 20 मई 2019 तक किलोग्राम पेरिस के पास रखा एक धातु का बेलन था, और उसका द्रव्यमान खिसकता रहता था। अब हर मूल मात्रक किसी प्रकृति के नियतांक का मान निश्चित करके परिभाषित है, इसलिए परिभाषाएँ किसी भी प्रयोगशाला में साकार की जा सकती हैं।

रेडियन और स्टेरेडियन, जो कभी पूरक मात्रक थे, अब विमाहीन व्युत्पन्न मात्रक हैं
सार्थक अंक: गुणा और भाग में परिणाम में उतने ही सार्थक अंक रहते हैं जितने सबसे कम परिशुद्ध गुणक में; जोड़ और घटाव में उतने दशमलव स्थान जितने सबसे कम परिशुद्ध पद में

Dimensions — what they can prove, and what they cannot

Quantity	Dimensions	Quantity	Dimensions
force	[M L T⁻²]	pressure, stress	[M L⁻¹ T⁻²]
work, energy, torque	[M L² T⁻²]	surface tension	[M T⁻²]
power	[M L² T⁻³]	viscosity η	[M L⁻¹ T⁻¹]
momentum, impulse	[M L T⁻¹]	G	[M⁻¹ L³ T⁻²]
Planck's h, angular momentum	[M L² T⁻¹]	frequency, angular velocity	[T⁻¹]

Pairs with the same dimensions — a paper's favourite question: work and torque, impulse and momentum, Planck's constant and angular momentum, stress, pressure and Young's modulus, frequency and angular velocity.

What dimensional analysis can do

test whether an equation is homogeneous
convert units between systems
derive a relation when the variables are known: the pendulum's T ∝ √(l/g)

What it cannot

find dimensionless constants — the 2π in T = 2π√(l/g)
handle sums, or trigonometric and exponential functions
tell apart two quantities with the same dimensions

The trap: a dimensionally correct equation may still be wrong. Homogeneity is necessary, not sufficient.

विमाएँ — वे क्या सिद्ध कर सकती हैं, और क्या नहीं

राशि	विमा	राशि	विमा
बल	[M L T⁻²]	दाब, प्रतिबल	[M L⁻¹ T⁻²]
कार्य, ऊर्जा, बल-आघूर्ण	[M L² T⁻²]	पृष्ठ तनाव	[M T⁻²]
शक्ति	[M L² T⁻³]	श्यानता η	[M L⁻¹ T⁻¹]
संवेग, आवेग	[M L T⁻¹]	G	[M⁻¹ L³ T⁻²]
प्लांक का h, कोणीय संवेग	[M L² T⁻¹]	आवृत्ति, कोणीय वेग	[T⁻¹]

समान विमा वाली जोड़ियाँ — परीक्षा का प्रिय प्रश्न: कार्य और बल-आघूर्ण, आवेग और संवेग, प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग, प्रतिबल, दाब और यंग गुणांक, आवृत्ति और कोणीय वेग।

विमीय विश्लेषण क्या कर सकता है

जाँचना कि समीकरण समघात

Motion in a straight line — the equations and the graphs

For uniform acceleration

v = u + at
s = ut + ½at²
v² = u² + 2as
distance in the nth second: sₙ = u + ½a(2n − 1)

Reading the graphs

Graph	Its slope is	The area under it is
position–time	velocity	—
velocity–time	acceleration	displacement
acceleration–time	—	change in velocity

Galileo's odd-number rule. A body starting from rest with uniform acceleration covers distances in successive equal intervals in the ratio 1 : 3 : 5 : 7 … — because the total distance grows as t², and the differences of the squares 1, 4, 9, 16 are the odd numbers.

Free fall: a = g ≈ 9.8 m s⁻², the same for every body in a vacuum — Galileo against Aristotle.

Relative velocity: v_AB = v_A − v_B. Two trains approaching at 60 and 40 km/h close at 100 km/h; moving the same way, at 20 km/h.

The trap: the area under a velocity–time graph gives displacement, which can be zero on a round trip; the distance is the area taken without sign.

सरल रेखा में गति — समीकरण और ग्राफ़

एकसमान त्वरण के लिए

v = u + at
s = ut + ½at²
v² = u² + 2as
nवें सेकंड में दूरी: sₙ = u + ½a(2n − 1)

ग्राफ़ पढ़ना

ग्राफ़	उसकी ढलान	उसके नीचे का क्षेत्रफल
स्थिति–समय	वेग	—
वेग–समय	त्वरण	विस्थापन
त्वरण–समय	—	वेग में परिवर्तन

गैलीलियो का विषम-संख्या नियम। विराम से एकसमान त्वरण से चलता पिंड क्रमागत समान समयांतरालों में 1 : 3 : 5 : 7 … के अनुपात में दूरियाँ तय करता है — क्योंकि कुल दूरी t² के साथ बढ़ती है, और वर्गों 1, 4, 9, 16 के अंतर विषम संख्याएँ हैं।

मुक्त पतन: a = g ≈ 9.8 m s⁻², निर्वात में हर पिंड के लिए समान — अरस्तू के विरुद्ध गैलीलियो।

आपेक्षिक वेग: v_AB = v_A − v_B। 60 और 40 km/h से आमने-सामने आती दो रेलगाड़ियाँ 100 km/h से निकट आती हैं; एक ही दिशा में, 20 km/h से।

जाल: वेग–समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल

Projectiles and circular motion

A projectile launched with speed u at angle θ to the horizontal:

the horizontal velocity u cosθ stays constant; the vertical one changes under g
time of flight T = 2u sinθ / g
maximum height H = u² sin²θ / 2g
horizontal range R = u² sin2θ / g, largest at θ = 45°, where R_max = u²/g
complementary angles — θ and 90° − θ — give the same range: 30° and 60° land together
the path is a parabola: y = x tanθ − g x² / (2u² cos²θ)

Uniform circular motion

speed is constant, but velocity is not: its direction changes
centripetal acceleration a = v²/r = ω²r, directed towards the centre
v = ωr; one revolution takes 2πr/v

The traps

At the top of its path a projectile's velocity is not zero — only the vertical part is; the horizontal part u cosθ remains
The acceleration is g, downward, throughout — including at the top
In uniform circular motion the body is accelerating, though its speed never changes

प्रक्षेप्य और वृत्तीय गति

क्षैतिज से θ कोण पर u चाल से फेंका गया प्रक्षेप्य:

क्षैतिज वेग u cosθ स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर वेग g के कारण बदलता है
उड्डयन काल T = 2u sinθ / g
अधिकतम ऊँचाई H = u² sin²θ / 2g
क्षैतिज परास R = u² sin2θ / g, θ = 45° पर सबसे अधिक, जहाँ R_max = u²/g
पूरक कोण — θ और 90° − θ — समान परास देते हैं: 30° और 60° एक ही जगह गिरते हैं
पथ परवलय है: y = x tanθ − g x² / (2u² cos²θ)

एकसमान वृत्तीय गति

चाल स्थिर है, पर वेग नहीं: उसकी दिशा बदलती है
अभिकेंद्र त्वरण a = v²/r = ω²r, केंद्र की ओर
v = ωr; एक चक्कर में 2πr/v समय

जाल

पथ के शीर्ष पर प्रक्षेप्य का वेग शून्य नहीं होता — केवल ऊर्ध्वाधर भाग शून्य होता है; क्षैतिज भाग u cosθ बना रहता है
त्वरण पूरे समय g, नीचे की ओर है — शीर्ष पर भी
एकसमान वृत्तीय गति में पिंड त्वरित होता है, यद्यपि उसकी चाल कभी नहीं बदलती

Points to Remember

Seven SI base units; since 20 May 2019 each is fixed by a constant — the kilogram by Planck's h
Same dimensions: work–torque, impulse–momentum, h–angular momentum, stress–pressure–Y
Dimensional analysis cannot find 2π, cannot handle sums or functions, and cannot tell same-dimension quantities apart
v = u + at · s = ut + ½at² · v² = u² + 2as · sₙ = u + ½a(2n − 1)
Slope of x–t is velocity; slope of v–t is acceleration; area under v–t is displacement
From rest: distances in equal intervals 1 : 3 : 5 : 7
Projectile: T = 2u sinθ/g · H = u² sin²θ/2g · R = u² sin2θ/g · R_max = u²/g at 45°
θ and 90° − θ give the same range
At the top: velocity u cosθ, acceleration still g
Circular motion: a = v²/r = ω²r, towards the centre
Exam tip: before using a formula, check its condition — the equations of motion hold only for constant acceleration

स्मरणीय बिंदु

सात SI मूल मात्रक; 20 मई 2019 से हर एक किसी नियतांक से निश्चित — किलोग्राम प्लांक के h से
समान विमाएँ: कार्य–बल-आघूर्ण, आवेग–संवेग, h–कोणीय संवेग, प्रतिबल–दाब–Y
विमीय विश्लेषण 2π नहीं निकाल सकता, जोड़ या फलन नहीं सँभाल सकता, समान विमा वाली राशियों में भेद नहीं कर सकता
v = u + at · s = ut + ½at² · v² = u² + 2as · sₙ = u + ½a(2n − 1)
x–t की ढलान वेग; v–t की ढलान त्वरण; v–t के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन
विराम से: समान अंतरालों में दूरियाँ 1 : 3 : 5 : 7
प्रक्षेप्य: T = 2u sinθ/g · H = u² sin²θ/2g · R = u² sin2θ/g · 45° पर R_max = u²/g
θ और 90° − θ समान परास देते हैं
शीर्ष पर: वेग u cosθ, त्वरण फिर भी g
वृत्तीय गति: a = v²/r = ω²r, केंद्र की ओर
परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले उसकी शर्त जाँचिए — गति के समीकरण केवल नियत त्वरण पर लागू होते हैं