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LearnInShort · Elementary Mathematics
सार्वभौमिक शॉर्ट्स
25 topics · 150 cards
प्रतिशत — 5 शॉर्टकट जो ज़्यादातर सवाल हल कर देते हैं
Why Percentage Rules Every Exam
Percent means "per hundred". Writing 35% is the same as writing 35/100 or 0.35.
Percentage is the single most reused topic in Indian competitive exams. It sits underneath profit-loss, simple and compound interest, data interpretation, population growth and election questions. Master it once and you have quietly prepared four other chapters.
The one conversion you must be fluent in:
The base matters more than the number. "20% of what?" is always the first question to ask. Most wrong answers in exams come from taking the percentage of the wrong base, not from bad arithmetic.
प्रतिशत हर परीक्षा में क्यों ज़रूरी है
प्रतिशत का अर्थ है "प्रति सौ"। 35% लिखना = 35/100 = 0.35 लिखना।
भारतीय प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रतिशत सबसे अधिक दोहराया जाने वाला टॉपिक है। लाभ-हानि, साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज, आँकड़ा विश्लेषण, जनसंख्या वृद्धि और चुनाव संबंधी प्रश्न — सब इसी पर टिके हैं। इसे एक बार साध लेने पर चार अध्याय अपने आप तैयार हो जाते हैं।
यह रूपांतरण याद रखें:
संख्या से ज़्यादा महत्वपूर्ण है आधार (base)। सबसे पहले पूछें — "किसका 20%?" परीक्षा में ज़्यादातर गलत उत्तर गलत गणना से नहीं, बल्कि गलत आधार लेने से आते हैं।
Shortcut 1 — The Fraction Table
Stop calculating common percentages. Memorise them as fractions and the arithmetic collapses.
Worked example: 16⅔% of 4,200.
Instead of multiplying by 0.1666…, use 1/6 → 4,200 ÷ 6 = 700. Three seconds, no pen.
Another: 37½% of 1,600 → 37½% = 3/8 → 1,600 × 3 ÷ 8 = 600.
This one table is the highest-return thing on this card stack. Exam setters deliberately choose numbers divisible by these fractions.
शॉर्टकट 1 — भिन्न सारणी
सामान्य प्रतिशतों की गणना करना बंद करें। इन्हें भिन्न के रूप में याद कर लें, गणना स्वयं आसान हो जाएगी।
हल किया उदाहरण: 4,200 का 16⅔%।
0.1666… से गुणा करने के बजाय 1/6 लें → 4,200 ÷ 6 = 700। तीन सेकंड, बिना कलम।
दूसरा: 1,600 का 37½% → 37½% = 3/8 → 1,600 × 3 ÷ 8 = 600।
यही सारणी इस पूरे टॉपिक की सबसे लाभदायक चीज़ है। परीक्षक जानबूझकर ऐसी संख्याएँ चुनते हैं जो इन भिन्नों से विभाजित हो जाएँ।
Shortcut 2 — Percentage Change
Increase or decrease % = (change ÷ original) × 100
The denominator is always the original value, never the new one. This single rule decides most trap questions.
Example: Price rises from 80 to 100.
Increase = 20, original = 80 → (20/80) × 100 = 25% increase.
Now reverse it. Price falls from 100 to 80.
Decrease = 20, original = 100 → (20/100) × 100 = 20% decrease.
Same 20 rupees, two different percentages. A 25% rise followed by a 20% fall brings you back to the start — this asymmetry is exam gold and students lose marks on it constantly.
Successive change formula: net% = a + b + (ab/100), using minus signs for decreases.
20% up then 20% down → 20 − 20 − 400/100 = −4% (a net loss, not zero).
शॉर्टकट 2 — प्रतिशत परिवर्तन
वृद्धि या कमी % = (परिवर्तन ÷ मूल मान) × 100
हर = सदैव मूल मान होता है, नया मान कभी नहीं। यही एक नियम अधिकांश ट्रैप प्रश्नों का निर्णय करता है।
उदाहरण: कीमत 80 से 100 हुई।
वृद्धि = 20, मूल = 80 → (20/80) × 100 = 25% वृद्धि।
अब उल्टा। कीमत 100 से 80 हुई।
कमी = 20, मूल = 100 → (20/100) × 100 = 20% कमी।
वही 20 रुपये, दो अलग प्रतिशत। 25% वृद्धि के बाद 20% कमी आपको प्रारंभ पर लौटा देती है — यही असमानता परीक्षा की पसंदीदा है और छात्र यहीं अंक खोते हैं।
क्रमिक परिवर्तन सूत्र: कुल% = a + b + (ab/100), कमी के लिए ऋण चिह्न।
20% वृद्धि फिर 20% कमी → 20 − 20 − 400/100 = −4% (शून्य नहीं, शुद्ध हानि)।
Shortcut 3, 4 and 5 — The Time-Savers
3. Percentages are reversible. 40% of 75 equals 75% of 40. Both are 30. Flip whichever side is easier to compute.
4. "A is x% more than B" is not "B is x% less than A".
If A is 25% more than B, then B is 20% less than A. Convert with:
5. Population and price growth compounds. Two years of 10% growth is not 20% — it is 21%, because year two grows on the raised base. Use P(1 + r/100)ⁿ.
Exam application: A town of 10,000 grows 10% yearly. After 2 years → 10,000 × 1.1 × 1.1 = 12,100, not 12,000. Setters include 12,000 as an option precisely to catch this.
शॉर्टकट 3, 4 और 5 — समय बचाने वाले
3. प्रतिशत उलटे जा सकते हैं। 75 का 40% = 40 का 75%। दोनों 30 हैं। जो पक्ष आसान लगे, उसे लें।
4. "A, B से x% अधिक है" का अर्थ "B, A से x% कम है" नहीं होता।
यदि A, B से 25% अधिक है, तो B, A से 20% कम है। रूपांतरण:
5. जनसंख्या एवं मूल्य वृद्धि चक्रवृद्धि होती है। 10% की दो वर्ष की वृद्धि 20% नहीं, 21% है, क्योंकि दूसरे वर्ष की वृद्धि बढ़े हुए आधार पर होती है। सूत्र: P(1 + r/100)ⁿ।
परीक्षा प्रयोग: 10,000 की आबादी 10% वार्षिक बढ़ती है। 2 वर्ष बाद → 10,000 × 1.1 × 1.1 = 12,100, 12,000 नहीं। परीक्षक 12,000 विकल्प इसीलिए रखते हैं।
What Exams Actually Ask
SSC (CGL, CHSL, MTS): heavy on successive change and "x% more/less" conversions. Usually 2–3 direct percentage questions plus 4–5 that hide percentage inside profit-loss or data interpretation.
CTET and TET papers: lighter arithmetic, but percentage appears in classroom-data questions — reading a class performance table and computing pass percentage.
BPSC TRE: percentage sits in Elementary Mathematics for PRT and middle levels, and inside General Studies data questions.
Railway (RRB NTPC, Group D): near-guaranteed 3–4 questions, mostly straightforward fraction-table work.
Trap patterns to expect:
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC (CGL, CHSL, MTS): क्रमिक परिवर्तन और "x% अधिक/कम" रूपांतरण पर ज़ोर। सामान्यतः 2–3 सीधे प्रतिशत प्रश्न, साथ ही 4–5 प्रश्न जिनमें प्रतिशत लाभ-हानि या आँकड़ा विश्लेषण में छिपा होता है।
CTET एवं TET: गणना हल्की, लेकिन प्रतिशत शिक्षणशास्त्र-आधारित प्रश्नों में आता है — कक्षा प्रदर्शन सारणी पढ़कर उत्तीर्ण प्रतिशत निकालना।
BPSC TRE: PRT एवं मध्य स्तर के प्रारंभिक गणित में, तथा सामान्य अध्ययन के आँकड़ा प्रश्नों में।
रेलवे (RRB NTPC, ग्रुप D): लगभग निश्चित 3–4 प्रश्न, अधिकांश सीधे भिन्न-सारणी वाले।
अपेक्षित ट्रैप:
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: If a question gives you awkward numbers like 87.5% or 62.5%, convert to fractions (7/8 and 5/8) before touching a pen — the numbers are chosen to divide cleanly.
⚠ Exam Tip 2: When two percentages act on different bases, write the base beside each number. Most lost marks here are bookkeeping errors, not maths errors.
याद रखने योग्य बिंदु
⚠ परीक्षा टिप 1: यदि प्रश्न में 87.5% या 62.5% जैसी असुविधाजनक संख्या हो, कलम उठाने से पहले भिन्न में बदलें (7/8 और 5/8) — संख्याएँ ठीक विभाजित होने के लिए ही चुनी जाती हैं।
⚠ परीक्षा टिप 2: जब दो प्रतिशत अलग-अलग आधारों पर लगें, हर संख्या के आगे उसका आधार लिख लें। यहाँ अंक गणित की गलती से नहीं, हिसाब रखने की चूक से जाते हैं।
चाल, समय और दूरी — एक सूत्र, छह प्रकार के प्रश्न
One Formula, Three Questions
Every speed question in every paper comes from one relation:
Distance = Speed × Time
Rearranged: Speed = Distance ÷ Time, Time = Distance ÷ Speed.
The formula is never what makes a question hard. Units and the frame of reference do. Two rules fix most of it:
That inverse relation is the most productive idea in the chapter. "Walking at 3/4 of his usual speed he reaches 20 minutes late" is a one-line ratio problem, not a six-line algebra problem.
This chapter is worth 2–4 marks in almost every recruitment paper, and the questions repeat in shape year after year.
एक सूत्र, तीन प्रश्न
हर परीक्षा का हर चाल-संबंधी प्रश्न एक ही संबंध से निकलता है:
दूरी = चाल × समय
पुनर्व्यवस्थित रूप में: चाल = दूरी ÷ समय, समय = दूरी ÷ चाल।
प्रश्न को कठिन सूत्र कभी नहीं बनाता — इकाइयाँ और संदर्भ-तंत्र बनाते हैं। दो नियम अधिकांश कठिनाई दूर कर देते हैं:
यही व्युत्क्रम संबंध इस अध्याय का सबसे उपयोगी विचार है। "सामान्य चाल की 3/4 चाल से चलने पर वह 20 मिनट देर से पहुँचता है" — यह एक पंक्ति का अनुपात प्रश्न है, छह पंक्ति का बीजगणित नहीं।
लगभग हर भर्ती परीक्षा में यह अध्याय 2–4 अंक का होता है, और प्रश्नों का ढाँचा वर्ष-दर-वर्ष दोहराया जाता है।
Average Speed — Where Most Marks Are Lost
Average speed is total distance ÷ total time. It is almost never the average of the two speeds, and that is exactly the trap.
Equal distances, two speeds x and y:
Average = 2xy ÷ (x + y)
Worked example: half the journey at 30 km/h, half at 20 km/h.
Average = (2 × 30 × 20) ÷ 50 = 1200 ÷ 50 = 24 km/h — not 25. The body spends more time in the slow half, so the average is pulled towards the smaller speed. The answer is always less than the plain average, which is a free way to reject an option.
Equal times, two speeds x and y: now the plain average (x + y)/2 is correct.
So read one word before choosing the formula: equal distance or equal time. Three speeds over equal distances: Average = 3xyz ÷ (xy + yz + zx).
औसत चाल — जहाँ सबसे अधिक अंक कटते हैं
औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय। यह दोनों चालों का साधारण औसत लगभग कभी नहीं होती, और यही जाल है।
समान दूरी, दो चालें x और y:
औसत चाल = 2xy ÷ (x + y)
हल सहित उदाहरण: आधी यात्रा 30 किमी/घंटा से, आधी 20 किमी/घंटा से।
औसत = (2 × 30 × 20) ÷ 50 = 1200 ÷ 50 = 24 किमी/घंटा — 25 नहीं। धीमे आधे भाग में अधिक समय लगता है, इसलिए औसत छोटी चाल की ओर खिंच जाता है। उत्तर सदैव साधारण औसत से कम होता है — विकल्प काटने का यह मुफ़्त तरीका है।
Trains and Relative Speed
A train question is only a distance question with the train's own length added in.
When two bodies move, use relative speed:
Worked example: trains 120 m and 180 m long run towards each other at 40 km/h and 50 km/h.
Relative speed = 90 km/h = 90 × 5/18 = 25 m/s.
Total distance = 120 + 180 = 300 m.
Time = 300 ÷ 25 = 12 seconds.
Had they run in the same direction, relative speed would be 10 km/h ≈ 2.78 m/s and the crossing would take about 108 seconds. The same numbers, a nine-fold difference in answer — which is why examiners love this pair.
रेलगाड़ियाँ और सापेक्ष चाल
रेलगाड़ी का प्रश्न केवल दूरी का प्रश्न है, जिसमें गाड़ी की अपनी लंबाई जोड़ दी जाती है।
Boats, Streams and the Late-Arrival Ratio
Boats and streams is relative speed wearing a different coat. Let boat speed in still water be b and stream speed s:
Worked example: a boat covers 20 km downstream in 2 hours and returns in 4 hours.
Downstream = 20/2 = 10 km/h, upstream = 20/4 = 5 km/h.
b = (10 + 5)/2 = 7.5 km/h, s = (10 − 5)/2 = 2.5 km/h.
Late-arrival problems use the inverse ratio instead of algebra. A man walks at 3/4 of his usual speed and is 20 minutes late.
Speed ratio 3 : 4 → time ratio 4 : 3.
The extra 1 part = 20 minutes, so usual time = 3 parts = 60 minutes.
Same logic for early arrival — the difference in parts equals the difference in minutes.
नाव, धारा और देर से पहुँचने का अनुपात
नाव और धारा सापेक्ष चाल का ही दूसरा रूप है। शांत जल में नाव की चाल b तथा धारा की चाल s मान लीजिए:
What Exams Actually Ask
SSC CGL, CHSL and MTS ask the compact versions: convert a speed, find average speed over equal distances, or a single train-crossing-platform calculation. The standard trap is offering the arithmetic mean (25) alongside the harmonic mean (24) and letting hurry decide.
RRB NTPC and Group D favour trains — two trains crossing, a train overtaking a man walking, a train crossing a bridge. The trap is direction: they slip "in the same direction" into a long sentence, and a candidate who added the speeds gets a clean-looking wrong answer that is on the option list.
BPSC TRE-4 Elementary Mathematics stays at one-step level: a conversion, a simple D = S × T substitution, or an average-speed question with friendly numbers.
CTET and state TET papers frame it for a classroom — a scooter, a school bus, two children walking — but the arithmetic underneath is identical.
UPSC CSAT builds it into a longer situation with a stop or a delay, where the real work is reading the timeline correctly.
परीक्षा में वास्तव में क्या पूछा जाता है
SSC CGL, CHSL और MTS संक्षिप्त रूप पूछते हैं: चाल का रूपांतरण, समान दूरी पर औसत चाल, या प्लेटफ़ॉर्म पार करती एक गाड़ी की गणना। सामान्य जाल यह है कि समांतर माध्य (25) को हरात्मक माध्य (24) के साथ रख दिया जाता है और शेष निर्णय जल्दबाज़ी कर देती है।
RRB NTPC और ग्रुप D में रेलगाड़ियाँ प्रमुख हैं — दो गाड़ियों का पार करना, चलते व्यक्ति को गाड़ी का पार करना, पुल पार करना। जाल दिशा का होता है: लंबे वाक्य में "एक ही दिशा में" छिपा दिया जाता है, और चालें जोड़ देने वाले अभ्यर्थी को एक साफ़-सुथरा ग़लत उत्तर मिल जाता है जो विकल्पों में मौजूद रहता है।
BPSC TRE-4 प्रारंभिक गणित
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: For equal-distance average speed, the answer must lie between the two speeds and below their plain average. If you get 25 for 30 and 20, you used the wrong mean — 24 is the only value that can be right.
⚠ Exam Tip 2: Underline the direction word before you compute. "Towards each other" means add; "in the same direction" and "overtakes" mean subtract. This one word decides more train questions than the arithmetic does.
याद रखने योग्य बिंदु
अनुपात और समानुपात — बँटवारा, साझेदारी और आयु के पीछे एक ही विचार
Ratio — Parts, Not Amounts
A ratio a : b compares two quantities of the same kind by division: a : b means a/b. Multiplying or dividing both terms by the same non-zero number leaves it unchanged, so 6 : 9, 4 : 6 and 2 : 3 are the same ratio.
The single most useful habit: treat a ratio as a number of equal parts.
Worked example. Divide ₹1,200 between A and B in the ratio 3 : 5.
Total parts = 3 + 5 = 8. One part = 1200 ÷ 8 = ₹150.
A gets 3 × 150 = ₹450, B gets 5 × 150 = ₹750.
That 'find one part first' step removes almost all the algebra from the chapter.
A ratio is not a share. If A : B = 3 : 5, A does not get 3/5 of the money — A gets 3/8 of it. Confusing the second term with the total is the most common single error in this chapter, and examiners put the wrong value in the options on purpose.
अनुपात — राशि नहीं, भाग
अनुपात a : b एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना भाग द्वारा करता है: a : b का अर्थ है a/b। दोनों पदों को एक ही अशून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात नहीं बदलता, अतः 6 : 9, 4 : 6 तथा 2 : 3 एक ही अनुपात हैं।
सबसे उपयोगी आदत एक ही है: अनुपात को बराबर भागों की संख्या मानिए।
हल सहित उदाहरण। ₹1,200 को A तथा B में 3 : 5 के अनुपात में बाँटिए।
कुल भाग = 3 + 5 = 8। एक भाग = 1200 ÷ 8 = ₹150।
A को 3 × 150 = ₹450, B को 5 × 150 = ₹750।
'पहले एक भाग निकालिए' — यही चरण इस अध्याय से लगभग सारा बीजगणित हटा देता है।
अनुपात हिस्सा नहीं होता। यदि A : B = 3 : 5 है, तो A को धन का 3/5 नहीं, 3/8 मिलता है। दूसरे पद को कुल मान लेना इस अध्याय की सबसे आम भूल है, और परीक्षक जान-बूझकर वह ग़लत मान विकल्पों में रख देते हैं।
Combining and Converting Ratios
Two ratios sharing a middle term. If a : b = 2 : 3 and b : c = 4 : 5, you cannot write 2 : 3 : 5 — b is 3 in one and 4 in the other. Make b common by cross-multiplying:
a : b = 2 : 3, multiply by 4 → 8 : 12
b : c = 4 : 5, multiply by 3 → 12 : 15
So a : b : c = 8 : 12 : 15.
Ratios written as fractions. Divide ₹5,200 among A, B and C in 1/2 : 1/3 : 1/4. Multiply every term by the LCM of the denominators, 12, and the ratio becomes 6 : 4 : 3. Total parts = 13, one part = 400.
A = ₹2,400, B = ₹1,600, C = ₹1,200.
Percentages into ratios. If 40% of A = 60% of B, then 0.4A = 0.6B, so A/B = 0.6/0.4 = 3 : 2. Note the reversal — the larger percentage belongs to the smaller quantity.
Compounded ratio of a : b and c : d is ac : bd. Duplicate ratio is a² : b²; sub-duplicate is √a : √b.
अनुपातों को जोड़ना और बदलना
बीच का पद साझा करने वाले दो अनुपात। यदि a : b = 2 : 3 तथा b : c = 4 : 5 हो, तो 2 : 3 : 5 नहीं लिखा जा सकता — b एक में 3 है और दूसरे में 4। तिर्यक् गुणा करके b को समान कीजिए:
a : b = 2 : 3, 4 से गुणा → 8 : 12
b : c = 4 : 5, 3 से गुणा → 12 : 15
अतः a : b : c = 8 : 12 : 15
Proportion — Four Quantities, One Rule
When two ratios are equal we write a : b :: c : d, read as 'a is to b as c is to d'. Here a and d are the extremes, b and c the means, and the single governing rule is:
Product of extremes = product of means, i.e. ad = bc.
Three named quantities follow from it, and papers ask them by name:
The safest way to remember all three is to write the proportion out and solve for the unknown rather than recall the formula. 'Third proportional to 4 and 8' is just 4 : 8 :: 8 : x, so 4x = 64 and x = 16. 'Fourth proportional to 3, 5, 12' is 3 : 5 :: 12 : x, so 3x = 60 and x = 20.
समानुपात — चार राशियाँ, एक नियम
जब दो अनुपात बराबर हों तो लिखते हैं a : b :: c : d, अर्थात् 'a का b से वही संबंध है जो c का d से'। यहाँ a तथा d बाह्य पद हैं, b तथा c मध्य पद, और एकमात्र नियम है:
बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल, अर्थात् ad = bc।
इसी से तीन नामित राशियाँ निकलती हैं, और प्रश्नपत्र उन्हें नाम लेकर पूछते हैं:
Partnership and Ages — Ratio in Disguise
Partnership. Profit is shared in the ratio of capital × time, not capital alone. When everyone stays for the same period the time cancels and the ratio reduces to the capitals — which is exactly why candidates forget the time factor when it matters.
Worked example. A starts with ₹9,000 and stays 12 months. B joins with ₹12,000 and stays 6 months. Total profit ₹15,000.
Ratio = (9000 × 12) : (12000 × 6) = 108000 : 72000 = 3 : 2.
Total parts 5, one part 3000. A = ₹9,000, B = ₹6,000.
Note how B put in more money yet earned less — time did that.
Ages. Take the ratio as 4x and 3x, then add the years to both sides.
Worked example. Present ages of A and B are in 4 : 3. Six years hence the ratio will be 6 : 5.
(4x + 6)/(3x + 6) = 6/5 → 20x + 30 = 18x + 36 → 2x = 6 → x = 3.
So A is 12 and B is 9. Check: 18 : 15 = 6 : 5. ✓
साझेदारी और आयु — भेस बदले अनुपात
साझेदारी। लाभ पूँजी × समय के अनुपात में बँटता है, केवल पूँजी के अनुपात में नहीं। जब सभी समान अवधि तक रहते हैं, तब समय कट जाता है और अनुपात केवल पूँजियों का रह जाता है — और ठीक इसीलिए, जहाँ समय महत्वपूर्ण होता है, वहाँ अभ्यर्थी उसे भूल जाते हैं।
What Exams Actually Ask
SSC CGL, CHSL and MTS ask two or three of these every year: combine a : b and b : c, divide a sum in a ratio, or find a fourth proportional. The favourite trap is the fraction ratio (1/2 : 1/3 : 1/4) where the answer for 'A's share' is placed next to half the total sum — because a hurried reader treats 1/2 as A's fraction of the money rather than a term of the ratio.
RRB NTPC and Group D lean on partnership. The trap is always the time factor: the option produced by dividing profit in the ratio of capitals alone is deliberately included, and it is the one you get by reading only the rupee figures.
BPSC TRE-4 Elementary Mathematics keeps it single-step — divide an amount in a given ratio, or find a mean proportional with square-friendly numbers.
CTET and state TET papers frame it around a classroom — sharing pencils, splitting a class in a ratio of boys to girls — with the same arithmetic underneath.
UPSC CSAT embeds ratios in longer word problems where the real difficulty is deciding which two quantities are being compared.
परीक्षा में वास्तव में क्या पूछा जाता है
SSC CGL, CHSL और MTS प्रतिवर्ष इनमें से दो-तीन पूछते हैं: a : b और b : c को जोड़िए, किसी राशि को अनुपात में बाँटिए, अथवा चतुर्थानुपाती निकालिए। प्रिय जाल भिन्न वाला अनुपात (1/2 : 1/3 : 1/4) है, जहाँ 'A का हिस्सा' के उत्तर के पास कुल राशि का आधा भी रख दिया जाता है — क्योंकि जल्दबाज़ी में पाठक 1/2 को अनुपात का पद न मानकर A का भिन्न-हिस्सा मान लेता है।
RRB NTPC और ग्रुप D साझेदारी पर टिके रहते हैं। जाल सदैव समय का होता है: केवल पूँजियों के अनुपात में लाभ बाँटने से बनने वाला विकल्प जान-बूझकर रखा जाता है, और वही उत्तर तब मिलता है जब केवल रुपयों के अंक पढ़े जाएँ।
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: In partnership, always write capital × time before doing anything else, even when every partner stayed the same number of months. The habit costs three seconds and protects the one question a year where the months differ — which is precisely the question the paper is testing.
⚠ Exam Tip 2: After dividing an amount, add your answers back up. If A + B + C does not return the original sum exactly, you divided by the wrong total number of parts — the fastest self-check in the whole chapter.
याद रखने योग्य बिंदु
साधारण बनाम चक्रवृद्धि ब्याज — हर सूत्र और अंतर वाली तरकीब
Why Interest Questions Are Guaranteed Marks
Every quantitative paper carries two or three interest questions, and they are pure formula work — no reasoning, no trick reading. Learn four formulas and you never lose these marks again.
Simple Interest (SI) is calculated on the original principal every single year. The money you earn does not itself start earning.
> SI = (P x R x T) / 100 and Amount = P + SI
Here P is the principal, R the rate per cent per annum, T the time in years.
Example: Rs 6,000 at 8% for 3 years.
SI = (6000 x 8 x 3)/100 = Rs 1,440. Amount = Rs 7,440.
Notice the interest is Rs 480 in year one, Rs 480 in year two, Rs 480 in year three — identical, because the base never changes. That fixed base is the entire difference between SI and CI, and every trap in this chapter grows out of it.
ब्याज के प्रश्न पक्के अंक क्यों हैं
हर गणित के पेपर में दो-तीन ब्याज के प्रश्न आते ही हैं, और ये विशुद्ध सूत्र का काम हैं — न कोई तर्क, न कोई पेचीदा पठन। चार सूत्र सीख लीजिए, फिर ये अंक कभी नहीं छूटेंगे।
साधारण ब्याज (SI) हर वर्ष मूलधन पर ही लगता है। जो ब्याज आप कमाते हैं, वह स्वयं आगे ब्याज नहीं कमाता।
> SI = (P x R x T) / 100 तथा मिश्रधन = P + SI
यहाँ P मूलधन है, R वार्षिक दर प्रतिशत, और T समय वर्षों में।
उदाहरण: 6,000 रुपये, 8% दर, 3 वर्ष।
SI = (6000 x 8 x 3)/100 = 1,440 रुपये। मिश्रधन = 7,440 रुपये।
ध्यान दीजिए — पहले वर्ष ब्याज 480, दूसरे वर्ष 480, तीसरे वर्ष भी 480। तीनों बराबर, क्योंकि आधार कभी बदलता ही नहीं। यही स्थिर आधार SI और CI का पूरा अंतर है, और इस अध्याय का हर जाल इसी से जन्म लेता है।
Compound Interest — Interest That Earns Interest
In compound interest the interest earned is added back to the principal, so next year's interest is calculated on a bigger base.
> Amount = P (1 + R/100)^n and CI = Amount - P
Example: Rs 5,000 at 10% for 2 years.
Amount = 5000 x (1.1)^2 = 5000 x 1.21 = Rs 6,050, so CI = Rs 1,050.
Walk it year by year to see why: year one interest = Rs 500, principal becomes Rs 5,500; year two interest = 10% of 5,500 = Rs 550. Total 500 + 550 = Rs 1,050. The SI on the same sum would be only Rs 1,000. That extra Rs 50 is interest earned on the first year's interest.
Remember: CI is always greater than SI for the same P, R and T — except at the end of the very first year, where the two are exactly equal, because compounding has not had a chance to act yet.
चक्रवृद्धि ब्याज — ब्याज जो ब्याज कमाता है
चक्रवृद्धि ब्याज में कमाया गया ब्याज वापस मूलधन में जुड़ जाता है, इसलिए अगले वर्ष का ब्याज बड़े आधार पर लगता है।
> मिश्रधन = P (1 + R/100)^n तथा CI = मिश्रधन - P
उदाहरण: 5,000 रुपये, 10% दर, 2 वर्ष।
मिश्रधन = 5000 x (1.1)^2 = 5000 x 1.21 = 6,050 रुपये, अतः CI = 1,050 रुपये।
वर्ष-दर-वर्ष देखिए कि ऐसा क्यों है: पहले वर्ष ब्याज = 500 रुपये, मूलधन हो गया 5,500; दूसरे वर्ष ब्याज = 5,500 का 10% = 550 रुपये। कुल 500 + 550 = 1,050 रुपये। उसी राशि पर SI केवल 1,000 रुपये होता। यह अतिरिक्त 50 रुपये पहले वर्ष के ब्याज पर कमाया गया ब्याज है।
The Difference Trick — Where the Marks Actually Are
Papers rarely ask for plain SI. They ask for the difference between CI and SI, because candidates waste three minutes computing both. Two formulas remove all of that work.
> For 2 years: CI - SI = P x (R/100)^2
> For 3 years: CI - SI = P x (R/100)^2 x (300 + R)/100
Two-year example: Rs 10,000 at 5%.
Difference = 10000 x (0.05)^2 = 10000 x 0.0025 = Rs 25.
Check the long way: SI = Rs 1,000; CI = 11,025 - 10,000 = Rs 1,025. Difference Rs 25. Correct.
Three-year example: Rs 16,000 at 5%.
Difference = 16000 x 0.0025 x (305/100) = 40 x 3.05 = Rs 122.
These formulas run backwards too. If a question says the two-year difference is Rs 25 at 5%, then P = 25 / 0.0025 = Rs 10,000. That reverse form is asked as often as the forward one.
अंतर वाली तरकीब — असली अंक यहीं हैं
पेपर सीधा SI कम ही पूछते हैं। वे CI और SI का अंतर पूछते हैं, क्योंकि छात्र दोनों निकालने में तीन मिनट गँवा देते हैं। दो सूत्र यह सारा श्रम खत्म कर देते हैं।
> 2 वर्ष के लिए: CI - SI = P x (R/100)^2
> 3 वर्ष के लिए: CI - SI = P x (R/100)^2 x (300 + R)/100
दो वर्ष का उदाहरण:
Half-Yearly Compounding, and the Doubling Rules
When interest compounds more than once a year, adjust both numbers before using the formula:
Example: Rs 8,000 at 20% per annum compounded half-yearly for 1 year.
Use R = 10%, n = 2. Amount = 8000 x 1.21 = Rs 9,680, so CI = Rs 1,680 — not Rs 1,600, which is what annual compounding would have given.
Doubling and tripling under SI. If a sum doubles, the interest earned equals the principal itself, so:
> Doubles: R x T = 100. Triples: R x T = 200.
So a sum doubling in 8 years needs R = 100/8 = 12.5%. A sum tripling in 10 years needs R = 20%.
Under CI, doubling is not proportional. If a sum doubles in 5 years it becomes four times in 10 years and eight times in 15 — powers of two, never multiples.
अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि, और दुगुना होने के नियम
जब ब्याज वर्ष में एक से अधिक बार चक्रवृद्धि होता है, तो सूत्र लगाने से पहले दोनों संख्याएँ बदलिए:
What Exams Actually Ask
SSC CGL and CHSL favour the CI-minus-SI difference, in both directions — given the difference, find the principal or the rate. They also like half-yearly compounding on a 20% or 10% rate, because the arithmetic stays clean while the adjustment step catches people out.
Railway NTPC and Group D stay with plain SI: find the rate, the time, or the amount. Their standard trap is the sum that doubles or triples, testing whether you know R x T = 100.
BPSC TRE-4 and CTET put interest in the elementary mathematics section, usually as a classroom-style word problem — a shopkeeper, a loan, a savings deposit — where the difficulty is translating the sentence, not the calculation.
BPSC PCS and other state exams mix interest with instalments and with population-growth questions, which use the compound interest formula under a different name.
The three traps that repeat:
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL और CHSL को CI-घटा-SI वाला अंतर प्रिय है, दोनों दिशाओं में — अंतर देकर मूलधन या दर पूछना। उन्हें 20% या 10% दर पर अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि भी पसंद है, क्योंकि गणना साफ रहती है पर समायोजन का चरण लोगों को फँसा देता है।
Points to Remember
Exam Tip 1: When a question gives the difference between CI and SI, never compute both. Substitute straight into P(R/100)^2 — it is one line, and it works backwards to find P or R just as easily.
Exam Tip 2: Rates of 10%, 20% and 25% are chosen so the amount factors are clean: 1.1, 1.2 and 1.25. Memorise 1.1^2 = 1.21, 1.1^3 = 1.331 and 1.2^2 = 1.44, and most compound interest questions collapse into a single multiplication.
याद रखने योग्य बिंदु
लाभ, हानि और छूट — हर सूत्र और क्रमिक परिवर्तन का जाल
Three Prices, and Which One the Percentage Sits On
Every question in this chapter is built from three numbers:
One rule decides most answers: profit and loss percentages are always calculated on CP, while discount percentage is always calculated on MP. Mix those two bases and every later step is wrong, no matter how clean the arithmetic.
So a shop can advertise a 40% discount and still make money. If an item costing ₹100 is marked at ₹200 and sold at 40% off, the customer pays ₹120 — a genuine 40% discount on the tag, and a 20% profit on cost. Nothing dishonest has happened; the two percentages simply measure from different starting points.
तीन मूल्य, और प्रतिशत किस पर लगता है
इस अध्याय का हर प्रश्न तीन संख्याओं से बनता है:
एक नियम अधिकांश उत्तर तय कर देता है: लाभ और हानि का प्रतिशत सदैव CP पर निकलता है, जबकि छूट का प्रतिशत सदैव MP पर। इन दोनों आधारों को मिला दीजिए तो आगे का हर चरण ग़लत हो जाएगा, चाहे गणना कितनी ही स्वच्छ हो।
इसीलिए दुकान 40% छूट का विज्ञापन देकर भी कमा सकती है। ₹100 में ख़रीदी वस्तु ₹200 पर अंकित हो और 40% छूट पर बिके, तो ग्राहक ₹120 देता है — लेबल पर सच्ची 40% छूट, और लागत पर 20% लाभ। कुछ भी बेईमानी नहीं हुई; दोनों प्रतिशत बस अलग-अलग बिंदुओं से नापे गए हैं।
The Core Formulas
> Profit = SP – CP · Loss = CP – SP
> Profit % = (Profit / CP) × 100 · Loss % = (Loss / CP) × 100
Going from one price to the other:
> SP = CP × (100 + P) / 100 · CP = SP × 100 / (100 + P)
For a loss, replace (100 + P) with (100 – L).
Worked example 1. CP = ₹400, SP = ₹500.
Profit = ₹100, so Profit % = 100/400 × 100 = 25%.
Worked example 2. An article is sold for ₹720 at a profit of 20%. Find CP.
CP = 720 × 100 / 120 = ₹600. Note what does not work: subtracting 20% of ₹720, which gives ₹576. That takes the percentage of the selling price, and the percentage belongs to the cost price.
Worked example 3. A man loses 10% by selling at ₹450; what should he charge for a 20% gain?
CP = 450 × 100/90 = ₹500, so SP = 500 × 120/100 = ₹600.
मूल सूत्र
> लाभ = SP – CP · हानि = CP – SP
> लाभ % = (लाभ / CP) × 100 · हानि % = (हानि / CP) × 100
Discount — The Second Layer
Discount is a reduction on the marked price, never on cost:
> SP = MP × (100 – D) / 100 · Discount % = (MP – SP) / MP × 100
So a discount question is always two steps: first MP to SP, then SP against CP.
Worked example. An item costing ₹480 is marked at ₹800 and sold at 25% discount. Find the profit percent.
SP = 800 × 75/100 = ₹600. Profit = 600 – 480 = ₹120. Profit % = 120/480 × 100 = 25%.
A faster route for the standard "marks up x%, discounts y%" question is to take CP = 100 and work in multipliers.
Worked example. A trader marks goods 40% above cost and then allows 25% discount.
CP = 100 → MP = 140 → SP = 140 × 0.75 = 105 → profit 5%.
That 5% is worth remembering as a shape, not a number: a mark-up followed by a discount never cancels, because the two percentages are taken on different amounts.
छूट — दूसरी परत
छूट अंकित मूल्य पर दी जाने वाली कमी है, लागत पर कभी नहीं:
> SP = MP × (100 – D) / 100 · छूट % = (MP – SP) / MP × 100
अतः छूट वाला प्रश्न सदा दो चरणों का होता है: पहले MP से SP, फिर SP की तुलना CP से।
हल किया उदाहरण. ₹480 में ख़रीदी वस्तु ₹800 पर अंकित है और 25% छूट पर बिकती है। लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
Three Shortcuts That Cover the Hard Questions
1. Successive changes. Two percentage changes a and b combine into a single change of
> a + b + (a × b) / 100
Use minus signs for reductions. Successive discounts of 20% and 10%: –20 – 10 + 200/100 = –28%, so a single discount of 28%. Not 30% — the second cut acts on a smaller amount.
2. Same SP, equal gain and loss. Two articles sold at the same price, one at x% gain and the other at x% loss, always end in an overall loss of x²/100 %. At 10% each, the net is a 1% loss. The answer is never "no profit no loss", however symmetrical the question looks.
3. False weight. A shopkeeper who sells at cost price but hands over less than the stated weight gains
> Gain % = Error / (True value – Error) × 100
Using a 900 g weight for a kilogram: 100/900 × 100 = 11 1/9 %. The denominator is the weight actually given, not the 1000 g claimed.
तीन शॉर्टकट जो कठिन प्रश्न सँभाल लेते हैं
1. क्रमिक परिवर्तन. दो प्रतिशत परिवर्तन a और b मिलकर एक ही परिवर्तन बन जाते हैं:
> a + b + (a × b) / 100
कमी के लिए ऋण चिह्न लगाइए। 20% और 10% की क्रमिक छूट: –20 – 10 + 200/100 = –28%, अर्थात् एकल छूट 28%। 30% नहीं — दूसरी कटौती छोटी राशि पर लगती है।
What Exams Actually Ask
SSC CGL and CHSL lean on the shortcuts. Successive discounts, mark-up followed by discount, and the false-weight formula appear almost every cycle, usually with numbers chosen so the wrong method lands exactly on one of the printed options — 30% for successive discounts of 20% and 10%, for instance.
BPSC TRE-4 Elementary Mathematics stays with the direct forms: find CP given SP and profit percent, or find the new SP for a required gain. The trap here is applying the percentage to SP instead of CP.
CTET and state TETs keep the arithmetic small and set it in a shop: a vendor buys 12 pens for ₹96 and sells them at ₹10 each, what is the gain percent? Compute per unit and the numbers stay easy.
Railway NTPC and Group D use one-step questions with clean figures, and often ask for the discount percent given MP and SP directly.
Banking and state PSC papers favour the equal-gain-equal-loss result, because a candidate who reasons rather than recalls almost always answers "no profit no loss".
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL और CHSL शॉर्टकट पर टिके रहते हैं। क्रमिक छूट, अंकन के बाद छूट, और कम बाट का सूत्र लगभग हर चक्र में आते हैं, और संख्याएँ प्रायः ऐसी चुनी जाती हैं कि ग़लत विधि ठीक किसी छपे हुए विकल्प पर उतरे — जैसे 20% और 10% की क्रमिक छूट के लिए 30%।
BPSC TRE-4 प्रारंभिक गणित सीधे रूपों पर रहता है: SP और लाभ प्रतिशत देकर CP निकालिए, या वांछित लाभ के लिए नया SP निकालिए। यहाँ का जाल है प्रतिशत को CP के बजाय SP पर लगा देना।
CTET और राज्य TET अंकगणित छोटा रखते हैं और दुकान का परिवेश देते हैं: विक्रेता ₹96 में 12 क़लम ख़रीदकर ₹10 प्रति क़लम बेचता है, लाभ प्रतिशत कितना? प्रति इकाई गणना कीजिए, संख्याएँ सरल बनी रहेंगी।
Points to Remember
• Profit % and Loss % are on CP. Discount % is on MP. Never swap the base.
• SP = CP(100 + P)/100 and CP = SP × 100/(100 + P). For a loss use (100 – L).
• SP = MP(100 – D)/100. Discount % = (MP – SP)/MP × 100.
• Successive changes: a + b + ab/100, minus signs for reductions. 20% and 10% off = 28%, not 30%.
• Same SP with x% gain and x% loss = overall loss of x²/100 %. Always a loss.
• False weight: Gain % = Error/(True value – Error) × 100. A 900 g kilo gives 11 1/9 %.
• Mark up x% then discount y% → set CP = 100 and multiply; the two never cancel.
• If the number of articles bought and sold for the same money is given, gain % = (difference in count / count sold) × 100.
⚠ Exam Tip 1: Whenever a question gives SP and a percentage, resist subtracting that percentage from SP. Divide instead — CP = SP × 100/(100 ± P). This single habit removes the most heavily punished error in the chapter, and the wrong value is always printed as an option.
⚠ Exam Tip 2: Set CP = 100 for any question that gives only percentages and no rupee figure. The answer is a percentage anyway, so the assumption costs nothing and turns three lines of algebra into one line of multiplication.
याद रखने योग्य बिंदु
• लाभ % और हानि % CP पर होते हैं। छूट % MP पर। आधार कभी मत बदलिए।
• SP = CP(100 + P)/100 तथा CP = SP × 100/(100 + P)। हानि में (100 – L) लगाइए।
• SP = MP(100 – D)/100। छूट % = (MP – SP)/MP × 100।
• क्रमिक परिवर्तन: a + b + ab/100, कमी के लिए ऋण चिह्न। 20% और 10% की छूट = 28%, 30% नहीं।
समय और कार्य — LCM विधि, दक्षता और नल एवं टंकी
Where Every Arithmetic Section Starts
Time & Work is the most reliably scored chapter in the whole arithmetic section — and the one candidates most often waste their clock on. The reason is simple: most people solve it with fractions. One-twelfth plus one-eighteenth, find the LCM of the denominators, invert the answer. Three minutes gone, and one arithmetic slip away from a wrong option.
There is a faster way. Stop treating the job as 1 unit of work and start treating it as a number of units — specifically the LCM of the given days. Suddenly every rate is a whole number, every addition is mental, and a two-minute question becomes a fifteen-second one.
The same idea covers pipes and cisterns, wages and man-days problems, because all four are the same question wearing different clothes: something is being done at a steady rate, and you are asked how long it takes.
हर अंकगणित खंड यहीं से शुरू होता है
समय और कार्य पूरे अंकगणित खंड का सबसे भरोसेमंद अंक देने वाला अध्याय है — और वही अध्याय जिस पर अभ्यर्थी सबसे अधिक समय गँवाते हैं। कारण सीधा है: अधिकांश लोग इसे भिन्नों से हल करते हैं। एक बटा बारह जोड़ एक बटा अठारह, फिर हर का LCM निकालो, फिर उत्तर को उलटो। तीन मिनट गए, और एक छोटी-सी गणना-चूक उत्तर ग़लत कर देती है।
एक तेज़ रास्ता मौजूद है। कार्य को 1 इकाई मानना छोड़ दीजिए और उसे कई यूनिट मानिए — ठीक-ठीक दिए गए दिनों का LCM। अब हर दर पूर्ण संख्या बन जाती है, हर जोड़ मौखिक हो जाता है, और दो मिनट का प्रश्न पंद्रह सेकंड का रह जाता है।
यही विचार नल और टंकी, मज़दूरी तथा मनुष्य-दिवस प्रश्नों पर भी लागू होता है, क्योंकि चारों असल में एक ही प्रश्न हैं जो अलग-अलग कपड़े पहने हुए हैं: कोई काम एक नियत दर से हो रहा है, और आपसे पूछा जा रहा है कि कितना समय लगेगा।
The LCM Method — One Trick, Every Question
Rule: let total work = LCM of the given times. Each person's one-day work then comes out a whole number.
A finishes a job in 10 days, B in 15. Together?
No fractions anywhere. The classic two-worker formula gives the same thing: combined time = xy / (x + y) = (10 × 15) / 25 = 6 days.
The reverse is asked just as often. A and B together take 6 days; B alone takes 15. A alone? Total = 30, together = 5 units/day, B = 2 units/day, so A = 3 units/day → 30 ÷ 3 = 10 days.
Subtract rates. Never subtract times.
LCM विधि — एक तरकीब, हर प्रश्न
नियम: कुल कार्य = दिए गए समयों का LCM। तब हर व्यक्ति का एक दिन का कार्य पूर्ण संख्या में आ जाता है।
A एक काम 10 दिन में करता है, B 15 दिन में। साथ मिलकर?
Efficiency, Man-Days and Negative Work
Efficiency is the inverse of time. If A is twice as efficient as B, A takes half as long — efficiency 2 : 1 means time 1 : 2. Convert every "twice as good", "50% more efficient", "thrice as fast" into a rate ratio before you do anything else.
A is twice as efficient as B and together they finish in 12 days. A alone? Rates 2 : 1, so together they are 3 parts. A alone = 12 × 3/2 = 18 days.
Man-days: M₁D₁H₁ / W₁ = M₂D₂H₂ / W₂. More men, fewer days — inverse proportion. If 12 men take 18 days, then 27 men take 12 × 18 ÷ 27 = 8 days.
Negative work: if A builds and B demolishes, subtract. Net rate = 1/x − 1/y.
Wages are split in the ratio of work done — that is, of efficiency — never in the ratio of days taken.
दक्षता, मनुष्य-दिवस और ऋणात्मक कार्य
दक्षता समय की व्युत्क्रमानुपाती है। यदि A, B से दोगुना दक्ष है, तो A आधा समय लेगा — दक्षता 2 : 1 का अर्थ है समय 1 : 2। "दोगुना अच्छा", "50% अधिक दक्ष", "तीन गुना तेज़" — इन सबको सबसे पहले दर के अनुपात में बदलिए।
A, B से दोगुना दक्ष है और दोनों मिलकर 12 दिन में काम पूरा करते हैं। A अकेला? दरें 2 : 1, अतः साथ में 3 भाग। A अकेला = 12 × 3/2 = 18 दिन।
मनुष्य-दिवस: M₁D₁H₁ / W₁ = M₂D₂H₂ / W₂। अधिक व्यक्ति, कम दिन — व्युत्क्रमानुपात। यदि 12 व्यक्ति 18 दिन लेते हैं, तो 27 व्यक्ति 12 × 18 ÷ 27 = 8 दिन लेंगे।
Pipes and Cisterns — Same Chapter, New Vocabulary
A filling pipe is a worker. An emptying pipe or a leak is a worker with a minus sign. Nothing else changes.
Pipe A fills a tank in 12 hours, pipe B empties it in 18. Both open?
Net = 1/12 − 1/18 = (3 − 2)/36 = 1/36 → 36 hours to fill. If the emptying pipe were the faster of the two, the net rate would be negative — meaning the tank never fills. Some papers do put that among the options.
The leak question is the exam favourite. A pipe fills a tank in 6 hours, but with a leak in the bottom it takes 8. How long would the leak alone take to empty a full tank?
Leak's rate = 1/6 − 1/8 = (4 − 3)/24 = 1/24 → 24 hours.
Notice what the trap answer is: 8 − 6 = 2 hours. It is wrong because rates subtract, not times.
नल और टंकी — वही अध्याय, नई शब्दावली
भरने वाला नल एक कर्मी है। खाली करने वाला नल या छेद ऋण चिह्न वाला कर्मी है। इसके अलावा कुछ नहीं बदलता।
नल A टंकी को 12 घंटे में भरता है, नल B उसे 18 घंटे में खाली करता है। दोनों खुले?
शुद्ध दर = 1/12 − 1/18 = (3 − 2)/36 = 1/36 → भरने में 36 घंटे। यदि खाली करने वाला नल दोनों में तेज़ होता, तो शुद्ध दर ऋणात्मक हो जाती — अर्थात टंकी कभी भरती ही नहीं। कुछ प्रश्नपत्र यह विकल्प भी देते हैं।
छेद वाला प्रश्न परीक्षा का सबसे प्रिय प्रश्न है। एक नल टंकी को 6 घंटे में भरता है, पर तल में छेद होने से 8 घंटे लगते हैं। अकेला छेद भरी टंकी को कितने समय में खाली करेगा?
छेद की दर = 1/6 − 1/8 = (4 − 3)/24 = 1/24 →
What Exams Actually Ask
SSC CGL and CHSL carry two to three questions from here in almost every shift, usually efficiency ratios and "A leaves after n days" partial-work sums. The standard trap is the percentage statement — "A is 25% more efficient than B" — where candidates write the time ratio as 5 : 4 when it is 4 : 5.
Railway NTPC and Group D stay with the plain two-worker and leak formats, but load the numbers so that the fraction method eats your clock. This is exactly where the LCM method wins outright.
BPSC TRE-4 Elementary Mathematics and CTET Paper I / II mathematics ask the simpler versions — combined time, man-days — usually framed around a classroom, a field or a construction site.
UPSC CSAT prefers alternate-day working ("A works on day 1, B on day 2 …") and wage-division questions, where the trap is splitting the money in the ratio of days instead of the ratio of work done.
परीक्षा में वास्तव में क्या पूछा जाता है
SSC CGL और CHSL में लगभग हर शिफ़्ट में यहाँ से दो से तीन प्रश्न आते हैं, प्रायः दक्षता अनुपात और "A n दिन बाद छोड़ देता है" वाले शेष-कार्य प्रश्न। मानक जाल प्रतिशत वाला कथन है — "A, B से 25% अधिक दक्ष है" — जहाँ अभ्यर्थी समय का अनुपात 5 : 4 लिख देते हैं जबकि वह 4 : 5 होता है।
रेलवे NTPC और ग्रुप D सादे दो-कर्मी और छेद वाले प्रारूप पर ही टिके रहते हैं, पर संख्याएँ ऐसी रखते हैं कि भिन्न विधि आपका समय खा जाए। ठीक यहीं LCM विधि पूरी तरह जीतती है।
BPSC TRE-4 प्रारंभिक गणित और CTET पेपर I / II गणित सरल रूप पूछते हैं — संयुक्त समय, मनुष्य-दिवस — प्रायः कक्षा, खेत या निर्माण स्थल के परिवेश में।
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: When a question says "x% more efficient", invert it for time — 25% more efficient means efficiency 5 : 4, so time is 4 : 5, not 5 : 4.
⚠ Exam Tip 2: For "A and B work together for n days, then A leaves", count the units finished in those n days and divide the remainder by the rate of whoever is left. Never subtract days from days.
याद रखने योग्य बिंदु
क्षेत्रमिति — 2D क्षेत्रफल, 3D आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के जाल
The Chapter You Cannot Afford to Guess
Mensuration is the one arithmetic chapter where the question is never hard and the marks are still lost. Nobody fails to find the volume of a cylinder because the idea is difficult; they fail because they wrote 2πrh when the paper asked for the total surface area, or because they used the height of a cone where the slant height belonged.
So treat this chapter as a memory chapter with three decision points, not as a reasoning chapter. Point one: is the figure flat or solid? Point two: if solid, does the question want volume, curved surface, or total surface? Point three: is anything being melted, recast, painted or fenced — because that phrase alone tells you which of the three you need.
Get those three right and the arithmetic is a single substitution. Get them wrong and the perfectly correct arithmetic still lands on a wrong option, which is exactly what the paper-setter is counting on.
वह अध्याय जिसमें अनुमान लगाना भारी पड़ता है
क्षेत्रमिति अंकगणित का वह इकलौता अध्याय है जहाँ प्रश्न कभी कठिन नहीं होता, फिर भी अंक कटते हैं। बेलन का आयतन कोई इसलिए नहीं चूकता कि विचार कठिन है; वह इसलिए चूकता है कि प्रश्न में कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पूछा गया था और उसने 2πrh लिख दिया, या शंकु में तिर्यक ऊँचाई की जगह ऊँचाई रख दी।
इसलिए इसे तर्क का नहीं, स्मृति का अध्याय मानिए — जिसमें तीन निर्णय-बिंदु हैं। पहला: आकृति समतल है या ठोस? दूसरा: यदि ठोस है, तो प्रश्न आयतन चाहता है, वक्र पृष्ठ चाहता है या कुल पृष्ठ? तीसरा: क्या कुछ पिघलाया, ढाला, रँगा या घेरा जा रहा है — क्योंकि यही एक शब्द बता देता है कि तीनों में से कौन-सा चाहिए।
ये तीन सही हो गए तो गणना केवल एक प्रतिस्थापन भर है। ये ग़लत हो गए तो बिलकुल सही गणना भी ग़लत विकल्प पर पहुँचती है — और प्रश्न बनाने वाला ठीक इसी भरोसे पर प्रश्न बनाता है।
Flat Figures — The 2D Sheet
Diagonals 16 cm and 12 cm, find the rhombus. Area = ½ × 16 × 12 = 96 cm². The half is the whole question — 192 sits in the options for whoever forgets it.
Take π = 22/7 whenever the radius is a multiple of 7. That is not a coincidence; it is the setter telling you the arithmetic is meant to be clean.
समतल आकृतियाँ — 2D पन्ना
Solids — Volume, Curved Surface, Total Surface
| Solid | Volume | Curved / Lateral | Total surface |
|---|---|---|---|
| Cube (a) | a³ | 4a² | 6a² |
| Cuboid (l,b,h) | lbh | 2h(l+b) | 2(lb+bh+hl) |
| Cylinder (r,h) | πr²h | 2πrh | 2πr(r+h) |
| Cone (r,h) | ⅓πr²h | πrl | πr(r+l) |
| Sphere (r) | 4/3 πr³ | 4πr² | 4πr² |
| Hemisphere (r) | 2/3 πr³ | 2πr² | 3πr² |
Diagonals: cube a√3, cuboid √(l²+b²+h²).
The cone needs slant height, not height: l = √(r² + h²). With r = 7, h = 24 → l = 25, so CSA = (22/7)(7)(25) = 550 cm² and TSA = (22/7)(7)(7+25) = 704 cm². Volume = ⅓ × (22/7) × 49 × 24 =
Three Rules That Decide the Marks
1 · Melting conserves volume, not surface. Recast, melted, drawn into wire, poured — all mean equate the volumes. A solid sphere of radius 3 cm gives volume 36π. Each cone of r = 1, h = 3 takes π. So you get 36 cones. The trap answer is 27, from cubing the ratio 3 : 1 as if it were a scaling question.
2 · Scaling. Multiply every length by k and area becomes k², volume becomes k³. A side raised by 20% makes k = 1.2, so area rises by 1.2² − 1 = 44%, not 40. A radius raised by 10% makes sphere volume rise by 1.1³ − 1 = 33.1%, not 30.
3 · Read what is being covered. Painting four walls of a 10 × 8 × 4 m room = 2(10+8)(4) = 144 m². Add the ceiling and it is 224 m²; add the floor too and it is 304 m². At ₹10 per m² those are ₹1440, ₹2240 and ₹3040 — and all three will be sitting in the options.
तीन नियम जो अंक तय करते हैं
1 · पिघलाने से आयतन बचता है, पृष्ठ नहीं। ढाला गया, पिघलाया गया, तार खींचा गया, उँडेला गया — इन सबका एक ही अर्थ है: आयतन बराबर कीजिए। त्रिज्या 3 सेमी के ठोस गोले का आयतन 36π है। r = 1, h = 3 वाला हर शंकु π लेता है। अतः 36 शंकु बनेंगे। जाल वाला उत्तर 27 है, जो 3 : 1 के अनुपात का घन लेने से आता है — मानो यह मापमान का प्रश्न हो।
2 · मापमान। हर लंबाई को k से गुणा कीजिए तो क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना होता है। भुजा 20% बढ़ी तो k = 1.2, अतः क्षेत्रफल 1.2² − 1 = 44% बढ़ेगा, 40% नहीं। त्रिज्या 10% बढ़ी तो गोले का आयतन 1.1³ − 1 = 33.1% बढ़ेगा, 30% नहीं।
3 · पढ़िए कि ढका क्या जा रहा है। 10 × 8 × 4 मी कमरे की चार दीवारें रँगना = 2(10+8)(4) = 144 मी²। छत जोड़िए तो 224 मी²; फ़र्श भी जोड़िए तो 304 मी²। ₹10 प्रति मी² पर ये क्रमशः ₹1440, ₹2240 और ₹3040 हैं — और तीनों विकल्पों में मौजूद रहेंगे।
What Exams Actually Ask
SSC CGL and CHSL keep mensuration in the quantitative section every single shift and trap on the surface-area distinction: a cone's CSA with its TSA placed right beside it, or a cylinder's TSA with 2πrh offered first. They also love the recasting sum — sphere into cones, cylinder into a wire — where the only skill tested is knowing volume is what stays constant.
Railway NTPC and Group D stay on clean numbers: radius 7 or 21, π = 22/7, one substitution. Their trap is percentage scaling — "side doubled, area becomes?" with 2 times sitting where 4 times belongs.
BPSC TRE-4 and CTET ask it through a classroom object: the surface area of a chalk box, the volume of a water tank, the cost of fencing a rectangular field at a given rate per metre. Fencing means perimeter; levelling means area. Mixing those two is the single commonest slip.
UPSC CSAT rarely asks a bare formula. It asks the comparison — which of two containers holds more, or what happens to the cost when the dimensions change.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL और CHSL में क्षेत्रमिति हर पाली के मात्रात्मक खंड में रहती है, और जाल पृष्ठीय क्षेत्रफल के भेद पर होता है: शंकु का वक्र पृष्ठ, और ठीक बगल में उसका कुल पृष्ठ; या बेलन का कुल पृष्ठ, जिसमें 2πrh सबसे पहले रखा जाता है। ढालने वाला प्रश्न भी इन्हें प्रिय है — गोले से शंकु, बेलन से तार — जहाँ परखा केवल यह जाता है कि स्थिर क्या रहता है: आयतन।
Railway NTPC और Group D साफ़ संख्याओं पर टिके रहते हैं: त्रिज्या 7 या 21, π = 22/7, एक ही प्रतिस्थापन। इनका जाल प्रतिशत मापमान है — "भुजा दोगुनी, क्षेत्रफल कितना?" जहाँ 4 गुना की जगह 2 गुना रखा रहता है।
BPSC TRE-4 और CTET इसे कक्षा की किसी वस्तु के रूप में पूछते हैं: चॉक के डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल, पानी की टंकी का आयतन, आयताकार खेत की बाड़ लगाने का दिए गए प्रति मीटर दर पर ख़र्च। बाड़ का अर्थ है परिमाप; समतल करने का अर्थ है क्षेत्रफल। इन दोनों को मिला देना सबसे आम चूक है।
Points to Remember
• Equilateral triangle = (√3/4)a² · square diagonal = a√2 · cube diagonal = a√3 · cuboid diagonal = √(l²+b²+h²).
• Rhombus = ½ d₁d₂ · trapezium = ½(a+b)h · sector = (θ/360)πr².
• Cylinder: V = πr²h, CSA = 2πrh, TSA = 2πr(r+h).
• Cone: V = ⅓πr²h, CSA = πrl, TSA = πr(r+l), and l = √(r²+h²).
• Sphere: V = 4/3 πr³, SA = 4πr². Hemisphere: V = 2/3 πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr².
• Cone : hemisphere : cylinder of the same r and h = 1 : 2 : 3 in volume.
• Length ×k ⇒ area ×k², volume ×k³.
• Fencing = perimeter · levelling, tiling, painting = area · filling = volume.
⚠ Exam Tip 1: Underline the words "curved", "total", "lateral" and "including the lid / open at the top" before you compute anything. Every one of those words changes the formula, and the option matching your unread version is always printed.
⚠ Exam Tip 2: When a solid is melted and recast, never compare surface areas or ratios of lengths — set volume equal to volume. That one line solves the whole family of recasting questions.
याद रखने योग्य बिंदु
• समबाहु त्रिभुज = (√3/4)a² · वर्ग का विकर्ण = a√2 · घन का विकर्ण = a√3 · घनाभ का विकर्ण = √(l²+b²+h²)।
• समचतुर्भुज = ½ d₁d₂ · समलंब = ½(a+b)h · त्रिज्यखंड = (θ/360)πr²।
• बेलन: V = πr²h, वक्र पृष्ठ = 2πrh, कुल पृष्ठ = 2πr(r+h)।
• शंकु: V = ⅓πr²h, वक्र पृष्ठ = πrl, कुल पृष्ठ = πr(r+l), और l = √(r²+h²)
संख्या पद्धति — विभाज्यता के नियम, HCF × LCM, इकाई अंक और गुणनखंड गिनने का सूत्र
Number system is the quietest scoring chapter in the whole quantitative paper. It carries two to four questions in SSC CGL and CHSL, one or two in Railway NTPC and Group D, and it turns up inside BPSC TRE-4 and CTET mathematics as well. Nobody finds it glamorous, so nobody revises it, and that is exactly why it is worth ten minutes.
What makes it different from percentage or profit and loss is that almost nothing here needs calculation. A divisibility question is answered by looking at two digits. A unit-digit question is answered by dividing the power by 4. A factor-count question is answered by writing one product. If you find yourself doing long division in this chapter, you have missed the rule — and the rule is always shorter than the arithmetic. Four tools cover it: divisibility, HCF and LCM, cyclicity, and factor counting.
संख्या पद्धति पूरे गणित प्रश्नपत्र का सबसे शांत अंक-दिलाने वाला अध्याय है। SSC CGL और CHSL में इससे दो से चार प्रश्न आते हैं, रेलवे NTPC और ग्रुप D में एक-दो, और BPSC TRE-4 तथा CTET गणित में भी यह भीतर छिपा रहता है। किसी को यह आकर्षक नहीं लगता, इसलिए कोई इसे दोहराता नहीं — और यही कारण है कि इस पर दस मिनट खर्च करना फ़ायदे का सौदा है।
प्रतिशत या लाभ-हानि से यह इसलिए अलग है कि यहाँ लगभग कुछ भी गणना माँगता ही नहीं। विभाज्यता का प्रश्न दो अंक देखकर हल हो जाता है। इकाई अंक का प्रश्न घातांक को 4 से भाग देकर। गुणनखंड गिनने का प्रश्न एक गुणनफल लिखकर। यदि आप इस अध्याय में लंबा भाग लगा रहे हैं, तो नियम छूट गया है — और नियम हमेशा गणना से छोटा होता है। चार औज़ार पूरा अध्याय ढक लेते हैं — विभाज्यता, HCF और LCM, चक्रीयता, और गुणनखंड गिनती।
Divisibility — read the digits, do not divide
• By 2: last digit even. By 5: last digit 0 or 5. By 10: last digit 0.
• By 4: last two digits divisible by 4. By 8: last three digits divisible by 8.
• By 3: digit sum divisible by 3. By 9: digit sum divisible by 9.
• By 6: passes 2 and 3 together. By 12: passes 3 and 4 together.
• By 11: (sum of digits in odd places) − (sum of digits in even places) is 0 or a multiple of 11.
Worked example — is 4213 divisible by 11? Counting from the right, odd places hold 3 and 2, so 3 + 2 = 5. Even places hold 1 and 4, so 1 + 4 = 5. The difference is 0, so yes: 4213 = 11 × 383.
Note the combination rule needs co-prime factors. Checking 3 and 4 proves divisibility by 12; checking 2 and 6 does not, because 2 and 6 share a factor.
विभाज्यता — अंक पढ़िए, भाग मत दीजिए
• 2 से — अंतिम अंक सम। 5 से — अंतिम अंक 0 या 5। 10 से — अंतिम अंक 0।
• 4 से — अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य। 8 से — अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य।
• 3 से — अंकों का योग 3 से विभाज्य। 9 से — अंकों का योग 9 से विभाज्य।
• 6 से — 2 और 3 दोनों से विभाज्य। 12 से — 3 और 4 दोनों से विभाज्य।
• 11 से — (विषम स्थानों के अंकों का योग) − (सम स्थानों के अंकों का योग) 0 हो या 11 का गुणज हो।
हल किया उदाहरण — क्या 4213, 11 से विभाज्य है? दाईं ओर से गिनने पर विषम स्थानों पर 3 और 2 हैं, अतः 3 + 2 = 5। सम स्थानों पर 1 और 4 हैं, अतः 1 + 4 = 5। अंतर 0 है, इसलिए हाँ — 4213 = 11 × 383।
ध्यान दीजिए कि संयोजन नियम में गुणनखंड सह-अभाज्य होने चाहिए। 3 और 4 की जाँच 12 से विभाज्यता सिद्ध करती है; 2 और 6 की जाँच नहीं करती, क्योंकि 2 और 6 में उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
HCF and LCM — one product rule, two fraction rules
HCF (greatest common divisor) is the largest number that divides all of them. LCM is the smallest number all of them divide into. The connecting formula is:
HCF × LCM = product of the two numbers
Check it on 12 and 18: HCF 6, LCM 36, and 6 × 36 = 216 = 12 × 18. This formula holds for exactly two numbers and fails for three — that failure is the single most exploited trap in the chapter.
For fractions the two rules point in opposite directions:
LCM of fractions = LCM of numerators ÷ HCF of denominators
HCF of fractions = HCF of numerators ÷ LCM of denominators
Two standard applications: the smallest number leaving remainder r with several divisors is LCM + r. The largest number dividing a, b and c leaving the same remainder is the HCF of the differences (a − b), (b − c) and (c − a).
HCF और LCM — एक गुणनफल नियम, भिन्नों के दो नियम
HCF (महत्तम समापवर्तक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो सभी को विभाजित करे। LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटी संख्या है जिसे सभी विभाजित करें। जोड़ने वाला सूत्र है —
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल
12 और 18 पर जाँचिए — HCF 6, LCM 36, और 6 × 36 = 216 = 12 × 18। यह सूत्र ठीक दो संख्याओं के लिए लागू होता है और तीन के लिए विफल हो जाता है — यही विफलता इस अध्याय का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला जाल है।
भिन्नों के लिए दोनों नियम विपरीत दिशा में जाते हैं —
भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
दो मानक अनुप्रयोग — कई भाजकों से विभाजित करने पर r शेष छोड़ने वाली छोटी से छोटी संख्या = LCM + r। a, b और c को विभाजित करने पर समान शेष छोड़ने वाली बड़ी से बड़ी संख्या = अंतरों (a − b), (b − c), (c − a) का HCF।
Unit digits and factor counting
Unit digit of a large power: divide the power by 4 and use the remainder. The cycle of 2 is 2, 4, 8, 6; of 3 is 3, 9, 7, 1; of 7 is 7, 9, 3, 1; of 8 is 8, 4, 2, 6. A remainder of 1, 2, 3 picks that position in the cycle; a remainder of 0 picks the fourth. Digits 0, 1, 5 and 6 never change, and 4 and 9 alternate on a cycle of two.
Worked example — unit digit of 7¹⁰⁵. 105 ÷ 4 leaves remainder 1, so take the first member of 7's cycle: 7.
Counting factors: write the number as a prime factorisation aᵖ × bᑫ × cʳ. Then the number of factors is (p + 1)(q + 1)(r + 1). For 72 = 2³ × 3², that is 4 × 3 = 12 factors.
Series formulas worth memorising: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; the first n odd numbers add to n²; the first n even numbers add to n(n + 1).
इकाई अंक और गुणनखंडों की गिनती
बड़ी घात का इकाई अंक — घातांक को 4 से भाग दीजिए और शेषफल का उपयोग कीजिए। 2 का चक्र है 2, 4, 8, 6; 3 का 3, 9, 7, 1; 7 का 7, 9, 3, 1; 8 का 8, 4, 2, 6। शेषफल 1, 2, 3 चक्र में उसी स्थान को चुनता है; शेषफल 0 चौथे को। अंक 0, 1, 5 और 6 कभी नहीं बदलते, तथा 4 और 9 दो के चक्र में बदलते रहते हैं।
हल किया उदाहरण — 7¹⁰⁵ का इकाई अंक। 105 ÷ 4 में शेषफल 1 आता है, अतः 7 के चक्र का पहला सदस्य लीजिए — 7।
गुणनखंड गिनना — संख्या को अभाज्य गुणनखंड रूप aᵖ × bᑫ × cʳ में लिखिए। तब गुणनखंडों की संख्या = (p + 1)(q + 1)(r + 1)। 72 = 2³ × 3² के लिए यह 4 × 3 = 12 गुणनखंड है।
याद रखने योग्य श्रेणी सूत्र — 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; पहली n विषम संख्याओं का योग n²; पहली n सम संख्याओं का योग n(n + 1)।
What exams actually ask
SSC CGL and CHSL — the unit digit of a large power, and the HCF × LCM product. The trap in the product question is that the paper hands you three numbers instead of two; the formula does not apply and the intended answer is the one you get from prime factorisation, not from the shortcut.
Railway NTPC and Group D — plain divisibility, most often by 11 or 8. The trap is that 4 and 8 are checked on the last two and last three digits respectively, and candidates swap them under time pressure.
BPSC TRE-4 and Bihar STET mathematics — the smallest-number-leaving-remainder type built on LCM, and the number-of-factors formula.
CTET mathematics — classroom-framed items on prime, composite and co-prime, and the standing question of whether 1 is prime.
UPSC prelims (CSAT) — HCF and LCM inside a word problem about tiles, bells ringing together or stacking rows, never named as HCF or LCM.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL और CHSL — बड़ी घात का इकाई अंक, तथा HCF × LCM का गुणनफल। गुणनफल वाले प्रश्न का जाल यह है कि प्रश्नपत्र दो के बजाय तीन संख्याएँ थमा देता है; तब सूत्र लागू नहीं होता और सही उत्तर अभाज्य गुणनखंडन से आता है, शॉर्टकट से नहीं।
रेलवे NTPC और ग्रुप D — सीधी विभाज्यता, प्रायः 11 या 8 से। जाल यह है कि 4 की जाँच अंतिम दो अंकों पर और 8 की अंतिम तीन पर होती है, और समय के दबाव में अभ्यर्थी दोनों को आपस में बदल देते हैं।
BPSC TRE-4 और बिहार STET गणित — LCM पर आधारित 'शेष छोड़ने वाली छोटी से छोटी संख्या' वाला प्रकार, और गुणनखंडों की संख्या का सूत्र।
CTET गणित — कक्षा के संदर्भ में अभाज्य, भाज्य और सह-अभाज्य पर प्रश्न, तथा यह चिरस्थायी प्रश्न कि 1 अभाज्य है या नहीं।
UPSC प्रारंभिक (CSAT) — HCF और LCM किसी शब्द-समस्या के भीतर — टाइल बिछाना, घंटियों का साथ बजना, पंक्तियाँ लगाना — जहाँ HCF या LCM नाम कभी नहीं आता।
Points to Remember
• 1 is neither prime nor composite. 2 is the only even prime. 4 is the smallest composite. There are 25 primes below 100.
• Co-prime numbers have HCF 1 — they need not be prime themselves (8 and 9 are co-prime).
• 0 is a whole number and an even integer, but not a natural number.
• 4 → last two digits · 8 → last three digits · 11 → alternating-sum difference.
• HCF × LCM = product, for two numbers only.
• LCM of fractions = LCM of numerators ÷ HCF of denominators; HCF reverses it.
• Unit digit: power ÷ 4, then read the cycle. 0, 1, 5, 6 never change.
• Factors of aᵖbᑫ = (p + 1)(q + 1). Sum of first n odd numbers = n².
⚠ Exam Tip 1: In an LCM word problem — bells, tiles, runners meeting — the words that give it away are 'together again' and 'at the same time'. If the question instead asks for the largest size or greatest number of equal groups, it is HCF. Decide which one before touching a number.
⚠ Exam Tip 2: Never apply HCF × LCM = product to three numbers. Papers set that exact question because the shortcut looks like it should work. With three numbers, factorise.
याद रखने योग्य बिंदु
• 1 न अभाज्य है न भाज्य। 2 एकमात्र सम अभाज्य है। 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है। 100 से कम 25 अभाज्य संख्याएँ हैं।
• सह-अभाज्य संख्याओं का HCF 1 होता है — उनका स्वयं अभाज्य होना ज़रूरी नहीं (8 और 9 सह-अभाज्य हैं)।
• 0 पूर्ण संख्या और सम पूर्णांक है, पर प्राकृत संख्या नहीं।
• 4 → अंतिम दो अंक · 8 → अंतिम तीन अंक · 11 → एकांतर योगों का अंतर।
• HCF × LCM = गुणनफल, केवल दो संख्याओं के लिए।
औसत एवं एलीगेशन — भारित औसत का शॉर्टकट और क्रॉस विधि
Average looks like the easiest topic in the arithmetic section, and that is exactly why it costs marks. The formula — sum divided by count — is learnt in class six, so nobody revises it, and then a question arrives that gives you the average instead of the sum and expects you to work backwards.
Two ideas fix almost every average question you will ever see. First, an average is just a total in disguise: if eleven players average 25 years, their ages total 275 years, and that total is the number you actually calculate with. Second, when two groups with different averages are mixed, the mixed average always lands between them, closer to the bigger group — and alligation is simply the shortcut that tells you how much closer. Master those two, and the whole chapter, including mixtures and replacement, collapses into arithmetic you can do in your head.
औसत अंकगणित का सबसे आसान दिखने वाला अध्याय है, और ठीक इसी कारण यह सबसे अधिक अंक ले जाता है। सूत्र — योग बटा संख्या — कक्षा छह में ही सीख लिया जाता है, इसलिए कोई इसे दोहराता नहीं, और फिर ऐसा प्रश्न आता है जिसमें योग नहीं बल्कि औसत दिया होता है और उल्टा चलकर उत्तर निकालना पड़ता है।
दो विचार लगभग हर औसत के प्रश्न को हल कर देते हैं। पहला, औसत असल में छिपा हुआ योग है: यदि ग्यारह खिलाड़ियों की औसत आयु 25 वर्ष है, तो उनकी कुल आयु 275 वर्ष है, और गणना उसी कुल से होती है। दूसरा, जब अलग-अलग औसत वाले दो समूह मिलाए जाते हैं, तो मिश्रित औसत सदैव उन दोनों के बीच आता है और बड़े समूह के अधिक निकट होता है — एलीगेशन बस यही बताता है कि कितना निकट। इन दो बातों को साध लीजिए, तो मिश्रण एवं प्रतिस्थापन सहित पूरा अध्याय मौखिक गणित बन जाता है।
Average = sum ÷ number of items. The version you actually use more often is its reverse: sum = average × number of items. Convert to totals first; it removes almost all of the confusion.
Standard results worth memorising: the average of the first n natural numbers is (n+1)/2, so 1 to 20 averages 10.5. The average of the first n odd numbers is n; of the first n even numbers, n+1. For any set of consecutive numbers the average equals (first + last)/2, so 1 to 99 averages 50 without adding anything up.
Worked example: a batsman averages 45 runs in 15 innings and scores 65 in the sixteenth. New average = (45 × 15 + 65) ÷ 16 = 740 ÷ 16 = 46.25. Notice what happened — the average rose by 1.25 because he scored 20 runs more than his old average, spread over 16 innings: 20 ÷ 16 = 1.25.
औसत = योग ÷ पदों की संख्या। परंतु व्यवहार में इसका उल्टा रूप अधिक काम आता है: योग = औसत × पदों की संख्या। पहले कुल में बदलिए; इसी से लगभग सारी उलझन समाप्त हो जाती है।
याद रखने योग्य मानक परिणाम: प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत (n+1)/2 होता है, अतः 1 से 20 तक का औसत 10.5 है। प्रथम n विषम संख्याओं का औसत n होता है; प्रथम n सम संख्याओं का औसत n+1 होता है। किसी भी क्रमागत संख्या-समूह का औसत (प्रथम + अंतिम)/2 होता है, अतः 1 से 99 का औसत बिना जोड़े 50 है।
हल सहित उदाहरण: एक बल्लेबाज़ का 15 पारियों में औसत 45 रन है और सोलहवीं पारी में वह 65 रन बनाता है। नया औसत = (45 × 15 + 65) ÷ 16 = 740 ÷ 16 = 46.25। ध्यान दीजिए क्या हुआ — औसत 1.25 बढ़ा, क्योंकि उसने पुराने औसत से 20 रन अधिक बनाए और वे 16 पारियों में बँट गए: 20 ÷ 16 = 1.25।
Two shortcuts save the most time in the exam hall.
Replacement: when one member of a group of n is replaced and the average changes by k, the difference between the two members is n × k. If the average weight of eight people rises by 2.5 kg after a 65 kg person leaves, the newcomer weighs 65 + (8 × 2.5) = 85 kg. A rising average means the newcomer is heavier; a falling average means lighter. That one line answers an entire family of questions about age, weight and marks.
Average speed: for equal distances covered at speeds x and y, average speed = 2xy ÷ (x + y), never (x + y) ÷ 2. Going at 60 km/h and returning at 40 km/h gives (2 × 60 × 40) ÷ 100 = 48 km/h, not 50. For equal times, the plain average is correct. The examiner's real question is usually whether you noticed which quantity was equal — the distance or the time.
परीक्षा भवन में दो शॉर्टकट सबसे अधिक समय बचाते हैं।
प्रतिस्थापन: जब n सदस्यों के समूह में से एक बदला जाए और औसत में k का परिवर्तन हो, तो दोनों सदस्यों का अंतर n × k होता है। यदि 65 किग्रा का व्यक्ति हटने पर आठ लोगों का औसत भार 2.5 किग्रा बढ़ जाता है, तो नया व्यक्ति 65 + (8 × 2.5) = 85 किग्रा का है। औसत बढ़े तो नया सदस्य भारी; औसत घटे तो हल्का। यही एक पंक्ति आयु, भार और अंकों से जुड़े पूरे प्रश्न-परिवार का उत्तर दे देती है।
औसत चाल: समान दूरी x और y चाल से तय करने पर औसत चाल = 2xy ÷ (x + y) होती है, (x + y) ÷ 2 कभी नहीं। 60 किमी/घंटा से जाकर 40 किमी/घंटा से लौटने पर (2 × 60 × 40) ÷ 100 = 48 किमी/घंटा, न कि 50। समान समय की स्थिति में साधारण औसत ही सही होता है। परीक्षक असल में यही जाँचता है कि आपने देखा या नहीं कि बराबर क्या था — दूरी या समय।
Weighted average = (n₁a₁ + n₂a₂) ÷ (n₁ + n₂). If 30 boys average 60 marks and 20 girls average 70, the class averages (30 × 60 + 20 × 70) ÷ 50 = 3200 ÷ 50 = 64 — closer to 60, because the boys are the larger group.
Alligation reverses that question: given the mixed average, find the ratio. Write the cheaper and dearer values, put the mean between them, and cross-subtract —
cheaper quantity : dearer quantity = (dearer − mean) : (mean − cheaper).
Rice at ₹30/kg mixed with rice at ₹45/kg to sell at ₹35/kg gives (45 − 35) : (35 − 30) = 10 : 5 = 2 : 1.
Repeated replacement: if x litres are removed from P litres of a liquid and replaced with water, n times over, the pure liquid left is P(1 − x/P)ⁿ. From 40 L of milk, removing and replacing 4 L three times leaves 40 × (0.9)³ = 29.16 L.
भारित औसत = (n₁a₁ + n₂a₂) ÷ (n₁ + n₂)। यदि 30 लड़कों का औसत 60 अंक और 20 लड़कियों का औसत 70 अंक है, तो कक्षा का औसत (30 × 60 + 20 × 70) ÷ 50 = 3200 ÷ 50 = 64 होगा — 60 के अधिक निकट, क्योंकि लड़कों का समूह बड़ा है।
एलीगेशन इसी प्रश्न को उल्टा पूछता है: मिश्रित औसत देकर अनुपात पूछता है। सस्ता और महँगा मान लिखिए, बीच में माध्य रखिए और तिरछा घटाइए —
सस्ती मात्रा : महँगी मात्रा = (महँगा − माध्य) : (माध्य − सस्ता)।
₹30/किग्रा वाले चावल को ₹45/किग्रा वाले चावल में मिलाकर ₹35/किग्रा पर बेचना हो तो (45 − 35) : (35 − 30) = 10 : 5 = 2 : 1।
बार-बार प्रतिस्थापन: यदि P लीटर द्रव में से x लीटर निकालकर उतना ही पानी n बार मिलाया जाए, तो शेष शुद्ध द्रव = P(1 − x/P)ⁿ। 40 लीटर दूध में से 4 लीटर तीन बार निकालकर बदलने पर बचता है 40 × (0.9)³ = 29.16 लीटर।
What exams actually ask. BPSC TRE-4 keeps averages short and arithmetical: an average-age or average-marks question where you must convert to a total and back.
SSC CGL and CHSL are the heaviest users of alligation. They rarely ask "find the average" and almost always ask "in what ratio must they be mixed", because the cross method takes ten seconds and the long method does not. Railway NTPC and Group D favour average speed, and the trap is fixed — equal distances, two speeds, and (x + y)/2 sitting right there as an option.
CTET and the state TETs keep it classroom-framed: the average marks of a class before and after a new student joins. UPSC CSAT uses average inside a data-interpretation set rather than on its own.
Two traps repeat everywhere: treating (x + y)/2 as average speed, and forgetting that in alligation the answer ratio is cheaper : dearer, which is the reverse of the order you subtracted in.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं। BPSC TRE-4 औसत को छोटा और सीधा अंकगणितीय रखता है: औसत आयु या औसत अंक का प्रश्न, जिसमें कुल में बदलकर फिर वापस आना पड़ता है।
SSC CGL और CHSL एलीगेशन का सबसे अधिक प्रयोग करते हैं। वे "औसत निकालिए" कम पूछते हैं और लगभग हमेशा "किस अनुपात में मिलाया जाए" पूछते हैं, क्योंकि क्रॉस विधि दस सेकंड लेती है और लंबी विधि नहीं। रेलवे NTPC तथा ग्रुप D औसत चाल को पसंद करते हैं, और जाल तय है — समान दूरी, दो चालें, और विकल्प में (x + y)/2 सामने रखा हुआ।
CTET तथा राज्य TET इसे कक्षा के संदर्भ में रखते हैं: नया विद्यार्थी आने से पहले और बाद में कक्षा का औसत अंक। UPSC CSAT औसत को अकेले नहीं, आँकड़ा-निर्वचन के समुच्चय के भीतर पूछता है।
दो जाल हर जगह दोहराए जाते हैं: (x + y)/2 को औसत चाल मान लेना, और यह भूल जाना कि एलीगेशन में उत्तर का अनुपात सस्ता : महँगा होता है, जो घटाने के क्रम से उल्टा है।
Points to Remember
• Average = sum ÷ count; sum = average × count. Convert to totals first.
• First n natural numbers → (n+1)/2. First n odd → n. First n even → n+1. Consecutive numbers → (first + last)/2.
• Replacement: difference between the two members = n × change in average.
• Equal distance, two speeds → 2xy/(x + y). Equal time → (x + y)/2.
• Weighted average = (n₁a₁ + n₂a₂)/(n₁ + n₂); the answer always lies between the two averages.
• Alligation: cheaper : dearer = (dearer − mean) : (mean − cheaper).
• Repeated replacement: pure liquid left = P(1 − x/P)ⁿ.
⚠ Exam Tip 1: If a question gives two speeds and no times, it is an equal-distance question — use 2xy/(x + y). If it gives two times, use the simple average. The word "returns" almost always signals equal distance.
⚠ Exam Tip 2: After finishing an alligation, sanity-check the direction — the mixture price must sit between the two prices, and the larger share always belongs to the price nearer the mean.
याद रखने योग्य बिंदु
• औसत = योग ÷ संख्या; योग = औसत × संख्या। पहले कुल में बदलिए।
• प्रथम n प्राकृत संख्याएँ → (n+1)/2। प्रथम n विषम → n। प्रथम n सम → n+1। क्रमागत संख्याएँ → (प्रथम + अंतिम)/2।
• प्रतिस्थापन: दोनों सदस्यों का अंतर = n × औसत में परिवर्तन।
• समान दूरी, दो चालें → 2xy/(x + y)। समान समय → (x + y)/2।
• भारित औसत = (n₁a₁ + n₂a₂)/(n₁ + n₂); उत्तर सदैव दोनों औसतों के बीच होता है।
• एलीगेशन: सस्ता : महँगा = (महँगा − माध्य) : (माध्य − सस्ता)।
• बार-बार प्रतिस्थापन: शेष शुद्ध द्रव = P(1 − x/P)ⁿ।
ज्यामिति — कोणों के नियम, पाइथागोरस त्रिक, चार केंद्र और वृत्त के वे तथ्य जो प्रश्नपत्र दोहराते रहते हैं
Mensuration tells you how much a shape holds. Geometry tells you why the shape is what it is — and papers ask that second question far more often than students expect. Two to four marks in almost every general-mathematics section come from angle chasing, a right-triangle check, or a single circle property, and none of them need long calculation.
What makes geometry scoring is that the rules are finite. There are about a dozen results worth memorising, and every question is one of them wearing a disguise. A problem that looks like it needs construction usually needs the exterior-angle rule; one that looks like it needs trigonometry usually needs a Pythagorean triplet you already know.
Treat the next four cards as the rule sheet. Learn each statement, and more importantly learn the one situation it gets used in. A rule you can recite but cannot recognise inside a figure earns nothing in the exam hall.
क्षेत्रमिति बताती है कि कोई आकृति कितना समेटती है। ज्यामिति बताती है कि वह आकृति वैसी है ही क्यों — और प्रश्नपत्र दूसरा सवाल कहीं ज़्यादा पूछते हैं, जितना विद्यार्थी अनुमान लगाते हैं। लगभग हर सामान्य गणित खंड में दो से चार अंक कोण निकालने, समकोण त्रिभुज की जाँच, या वृत्त के किसी एक गुण से आते हैं, और इनमें से किसी में लंबी गणना नहीं लगती।
ज्यामिति के अंक दिलाऊ होने की वजह यह है कि नियम गिनती के हैं। याद रखने लायक लगभग एक दर्जन परिणाम हैं, और हर प्रश्न उन्हीं में से किसी एक का भेस बदला रूप है। जो प्रश्न रचना माँगता दिखता है, उसमें अक्सर बहिष्कोण का नियम चाहिए; जो त्रिकोणमिति माँगता दिखता है, उसमें अक्सर वही पाइथागोरस त्रिक चाहिए जो आपको पहले से याद है।
अगले चार कार्ड को नियम-सूची मानिए। हर कथन सीखिए, और उससे भी ज़रूरी — वह एक स्थिति सीखिए जहाँ वह नियम लगता है। जो नियम आप बोल तो सकते हैं पर आकृति में पहचान नहीं सकते, वह परीक्षा भवन में शून्य अंक देता है।
Start with the pairs. Two angles are complementary if they add to 90°, supplementary if they add to 180°. When two straight lines cross, vertically opposite angles are equal and each adjacent pair is supplementary — that one fact settles most 'find x' figures on its own.
Now the transversal. When a transversal cuts two parallel lines, corresponding angles are equal, alternate interior angles are equal, and co-interior (allied) angles add to 180°. Marks are lost here by treating the third pair like the first two: if one allied angle is 65°, the other is 115°, not 65°.
Inside a triangle, the three angles sum to 180°, and an exterior angle equals the sum of the two interior opposite angles. So an exterior angle of 110° with one opposite angle of 45° forces the other to be 65°. The angle sitting next to it inside the triangle, 70°, is the tempting wrong pick — it is adjacent to the exterior angle, not opposite to it.
जोड़ों से शुरू कीजिए। दो कोण पूरक (complementary) हैं यदि उनका योग 90° हो, और संपूरक (supplementary) हैं यदि योग 180° हो। जब दो सरल रेखाएँ काटती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं और आसन्न जोड़ा संपूरक होता है — यही एक तथ्य अधिकांश 'x ज्ञात कीजिए' वाली आकृतियाँ अकेले हल कर देता है।
अब तिर्यक रेखा। जब कोई तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो संगत कोण बराबर, एकांतर अंतःकोण बराबर, और सह-अंतःकोण (allied) का योग 180° होता है। अंक यहीं कटते हैं, जब तीसरे जोड़े को पहले दो जैसा मान लिया जाता है: यदि एक सह-अंतःकोण 65° है, तो दूसरा 115° होगा, 65° नहीं।
त्रिभुज के भीतर तीनों कोणों का योग 180° होता है, और बहिष्कोण दोनों सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होता है। इसलिए 110° का बहिष्कोण और एक सम्मुख कोण 45° हो, तो दूसरा 65° ही होगा। उसके बगल में त्रिभुज के भीतर बैठा 70° वाला कोण भ्रमित करने वाला विकल्प है — वह बहिष्कोण के आसन्न है, सम्मुख नहीं।
Pythagoras: in a right-angled triangle, hypotenuse² = base² + height². Memorise the triplets and you skip the arithmetic altogether — 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 20-21-29, and every multiple of these. Handed 6, 8 and 11, the answer is 'not right-angled', because 6 and 8 demand a hypotenuse of 10.
Congruence means identical in every measure: SSS, SAS, ASA, AAS and RHS. Learn the two that are not criteria. AAA gives similar triangles, never congruent ones, and SSA is not a valid test at all.
Similarity means same shape, different size, and AA alone is enough to establish it. The consequence papers love is the ratio rule. If corresponding sides are in the ratio 3:5, then perimeters are also 3:5 — but areas are 9:25, the square of it. Cube the ratio only for volumes of similar solids. Offering 3:5 as the area ratio, or jumping straight to 27:125, is the standard trap.
पाइथागोरस: समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²। त्रिक याद कर लीजिए और गणना की ज़रूरत ही नहीं पड़ेगी — 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 20-21-29, और इनके सभी गुणज। यदि 6, 8 और 11 दिए हों, तो उत्तर है 'समकोण नहीं', क्योंकि 6 और 8 के साथ कर्ण 10 चाहिए।
सर्वांगसमता का अर्थ है हर माप में समान: SSS, SAS, ASA, AAS और RHS। वे दो भी याद रखिए जो कसौटी हैं ही नहीं। AAA से समरूप त्रिभुज मिलते हैं, सर्वांगसम कभी नहीं, और SSA कोई वैध कसौटी है ही नहीं।
समरूपता का अर्थ है आकार वही, माप अलग, और इसे सिद्ध करने के लिए अकेला AA पर्याप्त है। जो परिणाम प्रश्नपत्रों को सबसे प्रिय है, वह अनुपात नियम है। यदि संगत भुजाएँ 3:5 में हों, तो परिमाप भी 3:5 होगा — पर क्षेत्रफल 9:25, यानी उसका वर्ग। घन केवल समरूप ठोसों के आयतन के लिए लीजिए। क्षेत्रफल के लिए 3:5 चुन लेना, या सीधे 27:125 पर कूद जाना — यही सामान्य जाल है।
Four centres, four constructions. The centroid is where the three medians meet, and it cuts every median in the ratio 2:1 measured from the vertex. The incentre is where the angle bisectors meet and is the centre of the inscribed circle. The circumcentre is where the perpendicular bisectors of the sides meet. The orthocentre is where the three altitudes meet.
Position is asked as often as definition. In a right-angled triangle the circumcentre sits at the midpoint of the hypotenuse while the orthocentre sits at the right-angle vertex — swapping those two is the usual slip. In an obtuse triangle both lie outside the figure. The centroid and the incentre are always inside, whatever the triangle.
The circle set is short and worth full marks. The angle a chord subtends at the centre is twice the angle it subtends on the major arc. The angle in a semicircle is 90°. Opposite angles of a cyclic quadrilateral add to 180°. A tangent is perpendicular to the radius at the point of contact, and the two tangents drawn from one external point are equal.
चार केंद्र, चार रचनाएँ। केंद्रक (centroid) वह बिंदु है जहाँ तीनों माध्यिकाएँ मिलती हैं, और यह हर माध्यिका को शीर्ष से नापते हुए 2:1 में बाँटता है। अंतःकेंद्र (incentre) वह है जहाँ कोण-समद्विभाजक मिलते हैं, और यही अंतःवृत्त का केंद्र है। परिकेंद्र (circumcentre) वह है जहाँ भुजाओं के लंब-समद्विभाजक मिलते हैं। लंबकेंद्र (orthocentre) वह है जहाँ तीनों शीर्षलंब मिलते हैं।
स्थिति उतनी ही पूछी जाती है जितनी परिभाषा। समकोण त्रिभुज में परिकेंद्र कर्ण के मध्यबिंदु पर बैठता है, जबकि लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर — इन्हीं दोनों की अदला-बदली आम चूक है। अधिककोण त्रिभुज में ये दोनों आकृति के बाहर पड़ते हैं। केंद्रक और अंतःकेंद्र त्रिभुज कैसा भी हो, हमेशा भीतर ही रहते हैं।
वृत्त की सूची छोटी है और पूरे अंक देती है। कोई जीवा केंद्र पर जो कोण बनाती है, वह दीर्घ चाप पर बने कोण का दोगुना होता है। अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, और एक ही बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
SSC CGL and CHSL put geometry in the quantitative section every year and lean towards angle chasing and circle properties — a chord-and-centre figure with one angle supplied, or a cyclic quadrilateral with one angle missing. RRB NTPC and Group D stay simpler: triplets, angle sums, and 'which of these sets can form a right-angled triangle'.
BPSC TRE-4 asks it under Elementary Mathematics, pitched at what a school teacher must be able to explain — the definitions of the four centres, the congruence criteria, and the behaviour of parallel lines. CTET and the state TET papers frame the same content as classroom items: which criterion proves this pair congruent, or what has gone wrong when a child claims AAA proves congruence.
Three trap patterns repeat across all of them. Co-interior angles offered as equal. The area of similar triangles offered as the plain side ratio. Orthocentre and circumcentre swapped in a right-angled triangle. Each is a half-remembered fact placed next to its twin, so when an option feels familiar, check which member of the pair you are actually looking at.
SSC CGL और CHSL हर वर्ष मात्रात्मक खंड में ज्यामिति रखते हैं और झुकाव कोण निकालने तथा वृत्त के गुणों की ओर रहता है — जीवा और केंद्र वाली आकृति जिसमें एक कोण दिया हो, या चक्रीय चतुर्भुज जिसमें एक कोण छूटा हो। RRB NTPC और ग्रुप D सरल रहते हैं: त्रिक, कोणों का योग, और 'इनमें से कौन-सा समुच्चय समकोण त्रिभुज बना सकता है'।
BPSC TRE-4 इसे प्रारंभिक गणित के अंतर्गत पूछता है, उस स्तर पर जो एक विद्यालय शिक्षक को समझा पाना आना चाहिए — चार केंद्रों की परिभाषाएँ, सर्वांगसमता की कसौटियाँ, और समांतर रेखाओं का व्यवहार। CTET तथा राज्य TET प्रश्नपत्र यही सामग्री कक्षा-आधारित प्रश्नों के रूप में रखते हैं: कौन-सी कसौटी इस युग्म को सर्वांगसम सिद्ध करती है, या जब कोई बच्चा कहे कि AAA सर्वांगसमता सिद्ध करता है तो चूक कहाँ हुई।
तीन जाल हर जगह दोहराए जाते हैं। सह-अंतःकोणों को बराबर बताना। समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल सीधे भुजा-अनुपात के रूप में देना। समकोण त्रिभुज में लंबकेंद्र और परिकेंद्र की अदला-बदली। तीनों में आधा-याद तथ्य अपने जुड़वाँ के बगल में रखा जाता है, इसलिए कोई विकल्प जाना-पहचाना लगे तो जाँचिए कि जोड़े का कौन-सा सदस्य सामने है।
Points to Remember
• Straight line 180°; vertically opposite equal. Transversal on parallels: corresponding equal, alternate interior equal, co-interior supplementary.
• Triangle angle sum 180°; exterior angle = sum of the two interior opposite angles.
• Triplets: 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 20-21-29 and their multiples.
• Congruence: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS. Similarity: AA. AAA gives similarity only; SSA gives nothing.
• Similar figures with side ratio k: perimeters k, areas k², volumes k³.
• Centroid divides each median 2:1 from the vertex; centroid and incentre always lie inside.
• Right triangle: circumcentre at the hypotenuse midpoint, orthocentre at the right-angle vertex.
• Circle: centre angle = 2 × major-arc angle; semicircle angle = 90°; cyclic quadrilateral opposite angles = 180°; tangent ⊥ radius; equal tangents from an external point.
⚠ Exam Tip 1: When a right triangle hands you two sides, scan the triplet list before reaching for Pythagoras — it turns a 40-second calculation into a 5-second recall.
⚠ Exam Tip 2: In any 'find the angle' figure, immediately mark every angle you can deduce instead of hunting for the one asked; the required angle usually surfaces within two steps of what you have already written.
याद रखने योग्य बिंदु
• सरल रेखा पर योग 180°; शीर्षाभिमुख बराबर। समांतर रेखाओं पर तिर्यक: संगत बराबर, एकांतर अंतःकोण बराबर, सह-अंतःकोण संपूरक।
• त्रिभुज के कोणों का योग 180°; बहिष्कोण = दोनों सम्मुख अंतःकोणों का योग।
• त्रिक: 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 20-21-29 और इनके गुणज।
• सर्वांगसमता: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS। समरूपता: AA। AAA केवल समरूपता देता है; SSA कुछ नहीं देता।
बीजगणित — VBODMAS, करणी एवं घातांक, और वे सर्वसमिकाएँ जो आपका काम कर देती हैं
Algebra is not a chapter you can skip and make up elsewhere. It sits underneath every other chapter in the paper: a profit-and-loss sum becomes an equation, a time-and-work sum is an LCM in disguise, and every simplification question is algebra wearing arithmetic's clothes.
Yet algebra is where the most marks leak, and almost never because the algebra was hard. They leak at the order of operations. A student who knows (a+b)² perfectly still loses the mark by doing division before 'of', or by opening a bracket while a bar still sits over part of the expression.
So treat this as two separate skills. The first is procedural: knowing exactly what order to touch an expression in. The second is recognition: seeing that 127² + 73² + 2·127·73 is not a calculation at all — it is (127 + 73)², and the answer is 40,000 in one line. Timed papers reward the second skill far more than the first.
बीजगणित ऐसा अध्याय नहीं है जिसे छोड़कर आप कहीं और से भरपाई कर लें। यह प्रश्नपत्र के हर दूसरे अध्याय के नीचे बैठा रहता है: लाभ-हानि का सवाल एक समीकरण बन जाता है, समय-कार्य का सवाल भेस बदले हुए ल.स. होता है, और हर सरलीकरण का प्रश्न अंकगणित के कपड़े पहने बीजगणित ही है।
फिर भी अंक सबसे ज़्यादा यहीं गँवाए जाते हैं, और लगभग कभी इसलिए नहीं कि बीजगणित कठिन था। वे संक्रियाओं के क्रम पर गँवाए जाते हैं। जिस विद्यार्थी को (a+b)² पूरी तरह याद है, वह भी 'of' से पहले भाग कर देने से, या रेखा (वीनकुलम) के रहते कोष्ठक खोल देने से अंक गँवा देता है।
इसलिए इसे दो अलग कौशल मानिए। पहला प्रक्रियात्मक है: यह जानना कि व्यंजक को किस क्रम में छूना है। दूसरा पहचान का है: यह देख लेना कि 127² + 73² + 2·127·73 गणना है ही नहीं — वह (127 + 73)² है, और उत्तर एक ही पंक्ति में 40,000 है। समयबद्ध पेपर दूसरे कौशल को कहीं अधिक पुरस्कृत करते हैं।
The order is VBODMAS: Vinculum (the bar), Brackets, Of, Division, Multiplication, Addition, Subtraction.
Two rules inside it are what papers actually test. First, a vinculum — a bar drawn over part of an expression — is settled before anything else, even before brackets. Second, 'of' is done before division; it is not ordinary multiplication.
Brackets themselves open in order: ( ) first, then { }, then [ ].
Worked: 18 ÷ 6 of 3 × 2 + 4 − 1
'of' first → 6 of 3 = 18
then 18 ÷ 18 = 1
then 1 × 2 = 2
then 2 + 4 − 1 = 5
The common wrong path treats 'of' as plain multiplication and runs left to right: 18 ÷ 6 = 3, 3 × 3 = 9, 9 × 2 = 18, giving 21. Both routes look disciplined; only one is. Whenever the word 'of' appears next to a division sign, the paper has planted this exact trap deliberately.
क्रम है VBODMAS: वीनकुलम (रेखा), ब्रैकेट, 'of', भाग, गुणा, जोड़, घटाव।
इसके भीतर दो नियम ही असल में पूछे जाते हैं। पहला — वीनकुलम, यानी व्यंजक के किसी हिस्से पर खिंची रेखा, सबसे पहले हल होती है, कोष्ठक से भी पहले। दूसरा — 'of' भाग से पहले किया जाता है; यह साधारण गुणा नहीं है।
कोष्ठक भी क्रम से खुलते हैं: पहले ( ), फिर { }, फिर [ ]।
हल: 18 ÷ 6 of 3 × 2 + 4 − 1
पहले 'of' → 6 of 3 = 18
फिर 18 ÷ 18 = 1
फिर 1 × 2 = 2
फिर 2 + 4 − 1 = 5
आम गलत रास्ता 'of' को सादा गुणा मानकर बाएँ से दाएँ चलता है: 18 ÷ 6 = 3, 3 × 3 = 9, 9 × 2 = 18, और उत्तर 21 आ जाता है। दोनों रास्ते अनुशासित दिखते हैं; अनुशासित केवल एक है। जब भी 'of' शब्द भाग-चिह्न के पास दिखे, समझिए पेपर ने यही जाल जानबूझकर बिछाया है।
Indices have five laws, and they cover everything asked:
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · a⁰ = 1 (a ≠ 0) · a⁻ⁿ = 1/aⁿ
A fractional index is a root: a^(1/n) = ⁿ√a. So 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
Worked: (2⁵ × 2⁻³)² ÷ 2² = (2²)² ÷ 2² = 2⁴ ÷ 2² = 2² = 4.
Surds are handled by rationalising: multiply top and bottom by the conjugate, which turns the denominator into a difference of squares and clears the root.
Worked: (√7 + √5) / (√7 − √5). Multiply above and below by (√7 + √5):
numerator = (√7 + √5)² = 7 + 5 + 2√35 = 12 + 2√35
denominator = 7 − 5 = 2
value = 6 + √35
The step students drop is that last division by 2. They stop at 12 + 2√35, which is the numerator, not the answer.
घातांक के पाँच नियम हैं, और वही सब कुछ ढँक लेते हैं जो पूछा जाता है:
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · a⁰ = 1 (a ≠ 0) · a⁻ⁿ = 1/aⁿ
भिन्नात्मक घातांक एक मूल होता है: a^(1/n) = ⁿ√a। इसलिए 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4।
हल: (2⁵ × 2⁻³)² ÷ 2² = (2²)² ÷ 2² = 2⁴ ÷ 2² = 2² = 4।
करणी को परिमेयकरण से साधा जाता है: अंश और हर दोनों को संयुग्मी से गुणा कीजिए, जिससे हर वर्गों का अंतर बन जाता है और मूल हट जाता है।
हल: (√7 + √5) / (√7 − √5)। ऊपर-नीचे (√7 + √5) से गुणा कीजिए:
अंश = (√7 + √5)² = 7 + 5 + 2√35 = 12 + 2√35
हर = 7 − 5 = 2
मान = 6 + √35
जो चरण विद्यार्थी छोड़ देते हैं वह यही अंतिम भाग 2 है। वे 12 + 2√35 पर रुक जाते हैं, जो अंश है, उत्तर नहीं।
Nine identities carry almost every algebra question:
(a+b)² = a² + 2ab + b² · (a−b)² = a² − 2ab + b² · a² − b² = (a+b)(a−b)
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) · (a−b)³ = a³ − b³ − 3ab(a−b)
a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²) · a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
That last one gives the most-asked corollary in the whole chapter: if a + b + c = 0, then a³ + b³ + c³ = 3abc.
The x + 1/x family is the other favourite:
x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2, but (x − 1/x)² + 2
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
Worked: a + b = 7 and ab = 12, so a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b) = 343 − 3(12)(7) = 343 − 252 = 91.
नौ सर्वसमिकाएँ लगभग हर बीजगणितीय प्रश्न को उठा लेती हैं:
(a+b)² = a² + 2ab + b² · (a−b)² = a² − 2ab + b² · a² − b² = (a+b)(a−b)
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) · (a−b)³ = a³ − b³ − 3ab(a−b)
a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²) · a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
अंतिम वाली से पूरे अध्याय का सबसे अधिक पूछा जाने वाला निष्कर्ष निकलता है: यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।
दूसरी पसंदीदा है x + 1/x वाली शृंखला:
x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2, परंतु (x − 1/x)² + 2
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
SSC CGL and CHSL put simplification and algebra together in the quantitative section, and the items are short by design — they want the identity spotted, not the arithmetic ground out. The standing trap is a number pair that is secretly a² − b² or (a+b)²; if you start multiplying, you have already lost the time the question was testing.
RRB NTPC and Group D stay with indices, surds and simple linear equations, and lean hard on the 'of' rule inside simplification chains.
BPSC TRE-4 asks elementary mathematics in Part II, pitched at what a school teacher must be able to demonstrate at the board: clean identity work and visible VBODMAS steps, not exotic manipulation.
CTET and the state TETs frame the same identities as classroom items — which identity a given expansion came from, or where the error sits in a worked solution shown on the board.
UPSC CSAT keeps algebra light but tests the same order-of-operations discipline buried inside word problems.
SSC CGL और CHSL सरलीकरण तथा बीजगणित को संख्यात्मक अभिरुचि खंड में साथ रखते हैं, और प्रश्न जानबूझकर छोटे होते हैं — वे चाहते हैं कि सर्वसमिका पहचानी जाए, अंकगणित घिसा न जाए। स्थायी जाल वह संख्या-युग्म है जो छिपे तौर पर a² − b² या (a+b)² होता है; यदि आपने गुणा शुरू कर दिया, तो जो समय प्रश्न परख रहा था वह आप पहले ही गँवा चुके।
RRB NTPC और ग्रुप डी घातांक, करणी तथा सरल रैखिक समीकरणों तक रहते हैं, और सरलीकरण की शृंखलाओं में 'of' नियम पर बहुत ज़ोर डालते हैं।
BPSC TRE-4 प्रारंभिक गणित भाग II में पूछता है, उस स्तर पर जिसे एक विद्यालय-शिक्षक बोर्ड पर दिखा सके: साफ़ सर्वसमिका-प्रयोग और दिखते हुए VBODMAS चरण, कोई अनोखा हेरफेर नहीं।
CTET तथा राज्य TET इन्हीं सर्वसमिकाओं को कक्षा-आधारित प्रश्नों के रूप में रखते हैं — कोई दिया हुआ प्रसार किस सर्वसमिका से आया, या बोर्ड पर दिखाए गए हल में त्रुटि कहाँ है।
UPSC CSAT बीजगणित हल्का रखता है, पर शब्द-समस्याओं में दबे उसी संक्रिया-क्रम के अनुशासन को परखता है।
Points to Remember
• VBODMAS in that order: bar, brackets ( ) { } [ ], of, ÷, ×, +, −.
• 'of' beats division. This one rule decides more marks than any identity on the list.
• a⁰ = 1 for every a ≠ 0; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^(1/n) is the nth root.
• Rationalise with the conjugate — the denominator becomes a difference of squares.
• a³ + b³ + c³ = 3abc whenever a + b + c = 0.
• x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2, but (x − 1/x)² + 2. The sign flips with the sign inside.
• (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) — the 3ab term carries (a+b) with it, not just 3ab.
⚠ Exam Tip 1: Before you calculate anything, look for a hidden identity. 127² + 73² + 2·127·73 is 200² and is answered in one line; multiplying it out costs ninety seconds and usually the mark too.
⚠ Exam Tip 2: In x + 1/x questions, write the formula down before you substitute. Almost every wrong answer here is a correct formula with a flipped sign, produced by working from memory at speed.
याद रखने योग्य बिंदु
• VBODMAS इसी क्रम में: रेखा, कोष्ठक ( ) { } [ ], of, ÷, ×, +, −।
• 'of' भाग को हरा देता है। यही एक नियम सूची की किसी भी सर्वसमिका से अधिक अंक तय करता है।
• हर a ≠ 0 के लिए a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^(1/n) n-वाँ मूल है।
• संयुग्मी से परिमेयकरण कीजिए — हर वर्गों का अंतर बन जाता है।
• जब भी a + b + c = 0 हो, तब a³ + b³ + c³ = 3abc।
• x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2, परंतु (x − 1/x)² + 2। चिह्न भीतर के चिह्न के साथ पलटता है।
• (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) — 3ab वाला पद अपने साथ (a+b) लेकर चलता है, केवल 3ab नहीं।
सांख्यिकी — माध्य, माध्यिका, बहुलक एवं परिसर, संशोधन सूत्रों सहित
Three averages exist because they answer three different questions.
The mean asks what each share would be if the total were split equally. The median asks which value sits in the middle when everything is lined up. The mode asks which value turns up most often.
They diverge exactly when the data is lopsided, and that is when papers set them. Nine workers earning ₹10,000 and one owner earning ₹5,00,000 give a mean of ₹59,000 — a figure not one of the ten people earns. The median, ₹10,000, describes them honestly.
So the set of formulas is small and the marks are reliable, but there is one discipline that decides whether you get them: the median needs the data sorted first, and most lost marks in this chapter come from candidates who took the middle term of the list as printed. Sort, then count.
तीन माध्य इसलिए हैं कि वे तीन अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं।
माध्य पूछता है कि यदि कुल को बराबर बाँटा जाए तो प्रत्येक का हिस्सा कितना होगा। माध्यिका पूछती है कि सब कुछ क्रम में लगाने पर बीच में कौन-सा मान बैठता है। बहुलक पूछता है कि कौन-सा मान सबसे अधिक बार आता है।
ये तभी अलग होते हैं जब आँकड़े एकतरफ़ा हों, और प्रश्नपत्र ठीक वहीं पूछता है। नौ श्रमिक ₹10,000 कमाएँ और एक मालिक ₹5,00,000, तो माध्य आता है ₹59,000 — ऐसा अंक जो उन दस में से कोई नहीं कमाता। माध्यिका ₹10,000 उनका ईमानदार वर्णन करती है।
सूत्र थोड़े हैं और अंक भरोसेमंद, पर एक अनुशासन तय करता है कि वे मिलेंगे या नहीं: माध्यिका के लिए आँकड़ों को पहले क्रम में लगाना पड़ता है, और इस अध्याय में सबसे अधिक अंक उन्हीं के जाते हैं जो छपी हुई सूची का ही बीच का पद उठा लेते हैं। पहले क्रम, फिर गिनती।
The mean and its shortcuts.
Mean = (sum of observations) ÷ (number of observations).
Standard series, all worth memorising:
• First n natural numbers → (n + 1)/2. For n = 15, mean = 8.
• First n odd numbers (1, 3, 5, …) → n.
• First n even numbers (2, 4, 6, …) → n + 1.
• Any arithmetic progression → (first term + last term)/2.
Combined mean of two groups is weighted by size, never a plain average of the two means:
combined mean = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂).
Twenty boys averaging 60 and thirty girls averaging 70 give (20 × 60 + 30 × 70) ÷ 50 = 3300 ÷ 50 = 66, not 65.
The correction formula, which papers love:
corrected mean = old mean + (correct value − wrong value) ÷ n.
If the mean of 10 readings is 25 and one reading of 45 was copied as 25, the corrected mean is 25 + 20/10 = 27.
माध्य और उसकी संक्षिप्त विधियाँ।
माध्य = (प्रेक्षणों का योग) ÷ (प्रेक्षणों की संख्या)।
मानक श्रेणियाँ, सभी याद रखने योग्य:
• प्रथम n प्राकृत संख्याएँ → (n + 1)/2। n = 15 पर माध्य = 8।
• प्रथम n विषम संख्याएँ (1, 3, 5, …) → n।
• प्रथम n सम संख्याएँ (2, 4, 6, …) → n + 1।
• किसी भी समांतर श्रेढ़ी का माध्य → (प्रथम पद + अंतिम पद)/2।
दो समूहों का संयुक्त माध्य समूह-आकार से भारित होता है, दोनों माध्यों का सीधा औसत कभी नहीं:
संयुक्त माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)।
The median and the range.
Step one is not a formula. Arrange the observations in ascending order. Only then:
• n odd → median is the ((n + 1)/2)th term.
• n even → median is the mean of the (n/2)th and the (n/2 + 1)th terms.
Take 12, 7, 15, 9, 20, 5. Sorted: 5, 7, 9, 12, 15, 20. Here n = 6, so the median is the mean of the 3rd and 4th terms — (9 + 12)/2 = 10.5. Note that 10.5 is not in the data at all, which is normal and not an error.
Take 7, 3, 9, 5, 11. Sorted: 3, 5, 7, 9, 11. Here n = 5, so the median is the 3rd term, 7.
Range = largest value − smallest value. For 23, 8, 41, 16, 30 the range is 41 − 8 = 33. It is the crudest measure of spread and the quickest mark in the chapter.
माध्यिका और परिसर।
पहला चरण कोई सूत्र नहीं है। प्रेक्षणों को आरोही क्रम में लगाइए। उसके बाद ही:
• n विषम → माध्यिका ((n + 1)/2)वाँ पद है।
• n सम → माध्यिका (n/2)वें और (n/2 + 1)वें पदों का माध्य है।
लीजिए 12, 7, 15, 9, 20, 5। क्रम में: 5, 7, 9, 12, 15, 20। यहाँ n = 6, इसलिए माध्यिका तीसरे और चौथे पद का माध्य है — (9 + 12)/2 = 10.5। ध्यान दीजिए कि 10.5 आँकड़ों में है ही नहीं, और यह सामान्य है, त्रुटि नहीं।
लीजिए 7, 3, 9, 5, 11। क्रम में: 3, 5, 7, 9, 11। यहाँ n = 5, इसलिए माध्यिका तीसरा पद है, अर्थात् 7।
परिसर = सबसे बड़ा मान − सबसे छोटा मान। 23, 8, 41, 16, 30 के लिए परिसर = 41 − 8 = 33। यह प्रसार का सबसे मोटा माप है और अध्याय का सबसे तेज़ अंक।
The mode, the empirical relation, and what happens when you shift the data.
Mode is simply the most frequent value. A set can have two modes, or none at all if every value appears once.
The empirical relation links all three: Mode = 3 × Median − 2 × Mean. With mean 26 and median 27, mode = 81 − 52 = 29. Treat it as the tool for when a paper hands you two of the three and asks for the missing one. It is an approximation for moderately skewed data, not an identity that holds on every small list — do not use it to check an answer you have already computed directly.
Worked set: 4, 6, 6, 7, 9, 10, 14. Sum 56, so mean = 8. n = 7, so median = the 4th term = 7. Mode = 6. Range = 10. Here mean > median > mode, the signature of data pulled right by a large value.
Add a constant to every observation and mean, median and mode all move by it — but the range does not move at all.
बहुलक, आनुभविक संबंध, और आँकड़े खिसकाने पर क्या होता है।
बहुलक बस वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। किसी समूह के दो बहुलक हो सकते हैं, और यदि हर मान एक ही बार आए तो एक भी नहीं।
आनुभविक संबंध तीनों को जोड़ता है: बहुलक = 3 × माध्यिका − 2 × माध्य। माध्य 26 और माध्यिका 27 पर बहुलक = 81 − 52 = 29। इसे उस स्थिति का औज़ार मानिए जब प्रश्नपत्र तीन में से दो दे और तीसरा पूछे। यह मध्यम विषम आँकड़ों के लिए एक सन्निकटन है, हर छोटी सूची पर लागू होने वाली सर्वसमिका नहीं — जो उत्तर आप सीधे निकाल चुके हैं, उसकी जाँच इससे मत कीजिए।
हल किया हुआ समूह: 4, 6, 6, 7, 9, 10, 14। योग 56, इसलिए माध्य = 8। n = 7, इसलिए माध्यिका = चौथा पद = 7। बहुलक = 6। परिसर = 10। यहाँ माध्य > माध्यिका > बहुलक, जो किसी बड़े मान द्वारा दाईं ओर खिंचे आँकड़ों की पहचान है।
हर प्रेक्षण में कोई अचर जोड़ दीजिए तो माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों उतना ही खिसक जाते हैं — पर परिसर बिलकुल नहीं बदलता।
What exams actually ask. SSC CGL, CHSL and MTS set one or two items per paper, almost always the corrected-mean formula or a combined average of two groups. Their standard trap is offering the plain average of the two group means as an option — 65 in the boys-and-girls sum above — which is correct only when both groups are the same size.
RRB NTPC and Group D keep the lists short and ask for the median directly, with the unsorted list as the trap: the middle term of the printed order is always among the options.
BPSC TRE-4 Elementary Mathematics carries this under averages, usually as one straightforward mean or median item.
CTET and the state TETs put it in the classroom — marks of a group of pupils are listed and the median or mode asked, sometimes with the point that the mean is misleading when one pupil scores far above the rest. That reasoning is worth a mark by itself.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं। एसएससी सीजीएल, सीएचएसएल और एमटीएस प्रति प्रश्नपत्र एक-दो प्रश्न रखते हैं, प्रायः संशोधित माध्य का सूत्र या दो समूहों का संयुक्त औसत। उनका मानक जाल है दोनों समूह-माध्यों का सीधा औसत विकल्प में रख देना — ऊपर के लड़के-लड़कियों वाले प्रश्न में 65 — जो केवल तभी सही है जब दोनों समूह बराबर आकार के हों।
आरआरबी एनटीपीसी और ग्रुप डी सूचियाँ छोटी रखते हैं और सीधे माध्यिका पूछते हैं, और जाल होती है बिना क्रम की सूची: छपे हुए क्रम का बीच का पद सदा विकल्पों में मौजूद रहता है।
बीपीएससी टीआरई-4 की प्रारंभिक गणित इसे औसत के अंतर्गत रखती है, प्रायः एक सीधे माध्य या माध्यिका के प्रश्न के रूप में।
सीटीईटी और राज्य टीईटी इसे कक्षा में ले आते हैं — विद्यार्थियों के अंक दिए जाते हैं और माध्यिका या बहुलक पूछा जाता है, कभी-कभी इस बिंदु के साथ कि जब एक विद्यार्थी शेष से बहुत आगे हो तो माध्य भ्रामक हो जाता है। यही तर्क अपने आप में एक अंक का है।
Points to Remember
• Mean = sum ÷ number of observations.
• First n naturals → (n + 1)/2 · first n odd → n · first n even → n + 1 · any AP → (first + last)/2.
• Combined mean = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/(n₁ + n₂). Equals the simple average of the two means only when n₁ = n₂.
• Corrected mean = old mean + (correct value − wrong value)/n.
• Median: sort first. n odd → the ((n + 1)/2)th term. n even → mean of the (n/2)th and (n/2 + 1)th terms.
• Mode = most frequent value; a set may have two modes or none.
• Empirical relation: Mode = 3 Median − 2 Mean (an approximation for moderately skewed data).
• Range = largest − smallest.
• Add k to every observation → mean, median, mode each rise by k; range unchanged. Multiply every observation by k → all three multiply by k, and the range multiplies by k too.
⚠ Exam Tip 1: For a combined average, never average the two averages. Weight by group size. A paper that gives unequal group sizes has put the unweighted figure in the options on purpose, and it is the single most common wrong mark in this chapter.
⚠ Exam Tip 2: Sort before you touch the median, every time, even when the list looks tidy. A list printed in near-order with one value out of place is the standard setup — the middle term of the printed list is always an option, and it is always wrong.
याद रखने योग्य बिंदु
• माध्य = योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या।
• प्रथम n प्राकृत → (n + 1)/2 · प्रथम n विषम → n · प्रथम n सम → n + 1 · किसी भी समांतर श्रेढ़ी → (प्रथम + अंतिम)/2।
• संयुक्त माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/(n₁ + n₂)। दोनों माध्यों के सीधे औसत के बराबर केवल तब जब n₁ = n₂।
• संशोधित माध्य = पुराना माध्य + (सही मान − गलत मान)/n।
त्रिकोणमिति — अनुपात, सर्वसमिकाएँ और ऊँचाई-दूरी: एक समकोण त्रिभुज ही सब कुछ हल कर देता है
Trigonometry looks like a new subject with new symbols. It is not. It is a bookkeeping system for one shape — the right-angled triangle — and once you accept that, every question in the chapter becomes the same question wearing a different coat.
Take any right triangle and fix one acute angle θ. The side facing θ is the perpendicular, the side lying beside it is the base, and the longest side, opposite the right angle, is the hypotenuse. The six trigonometric ratios are nothing more than the six ways of dividing one of those three sides by another.
That is the entire foundation. The identities are Pythagoras rewritten. Heights and distances are word problems that draw this same triangle for you. The standard-angle values are one small table you memorise once.
SSC CGL, CHSL and MTS, RRB NTPC and Group D, and BPSC TRE-4 secondary mathematics all draw from this single chapter — and they draw the same handful of patterns year after year.
त्रिकोणमिति देखने में नए चिह्नों वाला कोई नया विषय लगती है। वह है नहीं। यह केवल एक आकृति — समकोण त्रिभुज — का हिसाब रखने की पद्धति है, और यह बात स्वीकार कर लेने पर इस अध्याय का हर प्रश्न एक ही प्रश्न रह जाता है जो अलग-अलग कपड़े पहनकर आता है।
कोई भी समकोण त्रिभुज लीजिए और एक न्यून कोण θ नियत कर लीजिए। θ के सामने वाली भुजा लंब है, उसके साथ लगी भुजा आधार है, और समकोण के सामने वाली सबसे लंबी भुजा कर्ण है। छह त्रिकोणमितीय अनुपात इन्हीं तीन भुजाओं में से एक को दूसरी से भाग देने के छह तरीके भर हैं।
पूरी नींव यही है। सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस का ही दूसरा रूप हैं। ऊँचाई और दूरी के प्रश्न वही त्रिभुज आपके लिए स्वयं खींच देते हैं। मानक कोणों के मान एक छोटी-सी सारणी हैं जिसे एक बार याद कर लेना काफी है।
एसएससी सीजीएल, सीएचएसएल और एमटीएस, आरआरबी एनटीपीसी और ग्रुप डी, तथा बीपीएससी टीआरई-4 माध्यमिक गणित — सब इसी एक अध्याय से प्रश्न उठाते हैं, और वर्ष दर वर्ष वही गिने-चुने प्रारूप दोहराते हैं।
Six ratios, and three of them are only reciprocals of the other three:
sin θ = P/H · cos θ = B/H · tan θ = P/B
cosec θ = H/P · sec θ = H/B · cot θ = B/P
A mnemonic helps, but the safer habit is to redraw the triangle in the margin and read the ratio straight off the picture. A drawn triangle cannot be misremembered.
The standard-angle table is unavoidable, and it is smaller than it looks. Sine climbs 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 across 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Cosine is the very same list read backwards. Tangent is simply sine divided by cosine: 0, 1/√3, 1, √3, and undefined at 90°.
Learn the three Pythagorean triads as well — 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. If a question hands you tan θ = 3/4, you do not need Pythagoras at all: the triangle is the 3-4-5 one, so sin θ = 3/5 and cos θ = 4/5 the moment you recognise it. A large share of SSC ratio questions is built on exactly these three triads.
छह अनुपात, और उनमें से तीन शेष तीन के व्युत्क्रम मात्र हैं:
sin θ = लंब/कर्ण · cos θ = आधार/कर्ण · tan θ = लंब/आधार
cosec θ = कर्ण/लंब · sec θ = कर्ण/आधार · cot θ = आधार/लंब
स्मृति-सूत्र सहायक हैं, पर सुरक्षित आदत यह है कि हाशिये पर त्रिभुज बनाइए और अनुपात सीधे चित्र से पढ़ लीजिए। बनाया हुआ त्रिभुज गलत याद नहीं आ सकता।
मानक कोणों की सारणी अनिवार्य है, और वह दिखने से छोटी है। ज्या (sine) 0°, 30°, 45°, 60°, 90° पर क्रमशः 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 चढ़ती है। कोज्या (cosine) वही सूची उल्टी दिशा में पढ़ी गई है। स्पर्शज्या (tangent) केवल ज्या ÷ कोज्या है: 0, 1/√3, 1, √3, और 90° पर अपरिभाषित।
तीन पाइथागोरस त्रिक भी याद कीजिए — 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17। यदि प्रश्न में tan θ = 3/4 दिया हो तो पाइथागोरस लगाने की आवश्यकता ही नहीं: त्रिभुज 3-4-5 वाला है, अतः पहचानते ही sin θ = 3/5 और cos θ = 4/5 मिल जाते हैं। एसएससी के अनुपात प्रश्नों का बड़ा भाग इन्हीं तीन त्रिकों पर खड़ा होता है।
Three identities, and all three are Pythagoras applied to the ratio definitions:
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = cosec²θ
Rearrange them freely — sec²θ − tan²θ = 1 and cosec²θ − cot²θ = 1 are the same statements written to suit a different question.
The complementary rule converts 90° − θ into its partner ratio: sin(90° − θ) = cos θ, tan(90° − θ) = cot θ, sec(90° − θ) = cosec θ.
This is what makes sin²25° + sin²65° a three-second question. Since 65° = 90° − 25°, sin 65° is cos 25°, and the expression collapses to sin²25° + cos²25° = 1.
Worked example: simplify (1 + tan²θ) × cos²θ. Replace 1 + tan²θ with sec²θ. Then sec²θ × cos²θ = (1/cos²θ) × cos²θ = 1.
One habit solves most simplification questions: when an expression looks tangled, rewrite every term in sine and cosine before doing anything else. The identity you need becomes visible once everything is in the same two functions.
तीन सर्वसमिकाएँ, और तीनों अनुपात-परिभाषाओं पर लगाया गया पाइथागोरस ही हैं:
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = cosec²θ
इन्हें स्वतंत्रता से पुनर्व्यवस्थित कीजिए — sec²θ − tan²θ = 1 और cosec²θ − cot²θ = 1 वही कथन हैं जो किसी दूसरे प्रश्न के अनुकूल लिखे गए हैं।
पूरक कोण नियम 90° − θ को उसके जोड़ीदार अनुपात में बदल देता है: sin(90° − θ) = cos θ, tan(90° − θ) = cot θ, sec(90° − θ) = cosec θ।
यही कारण है कि sin²25° + sin²65° तीन सेकंड का प्रश्न है। चूँकि 65° = 90° − 25°, इसलिए sin 65° वस्तुतः cos 25° है, और व्यंजक सिमटकर sin²25° + cos²25° = 1 रह जाता है।
हल सहित उदाहरण: (1 + tan²θ) × cos²θ को सरल कीजिए। 1 + tan²θ के स्थान पर sec²θ रखिए। तब sec²θ × cos²θ = (1/cos²θ) × cos²θ = 1।
Heights and distances is trigonometry with a story attached. Two definitions do all the work.
The angle of elevation is measured upward from the horizontal to an object above you. The angle of depression is measured downward from the horizontal to an object below you. Both are measured from the horizontal, never from the vertical — that is the most common drawing error in the whole chapter.
The working relationship is always tan θ = height ÷ horizontal distance, because the height is the perpendicular and the ground distance is the base.
Three cases cover most papers:
θ = 45° → height = distance
θ = 30° → distance = √3 × height
θ = 60° → distance = height ÷ √3
Worked example: a tower is 30 m tall and casts a shadow 30√3 m long. Then tan θ = 30 ÷ 30√3 = 1/√3, so θ = 30°.
Notice the shadow is longer than the tower, which means the sun is low, which means the angle has to be the small one. That sanity check catches the √3 inversion before you mark anything.
ऊँचाई और दूरी वस्तुतः कहानी जोड़ी हुई त्रिकोणमिति है। दो परिभाषाएँ ही सारा काम कर देती हैं।
उन्नयन कोण क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर, अपने से ऊँची वस्तु तक नापा जाता है। अवनमन कोण क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर, अपने से नीची वस्तु तक नापा जाता है। दोनों क्षैतिज से नापे जाते हैं, ऊर्ध्वाधर से कभी नहीं — पूरे अध्याय में चित्र बनाते समय यही सबसे आम भूल है।
कार्यकारी संबंध सदैव tan θ = ऊँचाई ÷ क्षैतिज दूरी है, क्योंकि ऊँचाई लंब है और भूमि पर की दूरी आधार है।
तीन स्थितियाँ अधिकांश प्रश्नपत्रों को ढक लेती हैं:
θ = 45° → ऊँचाई = दूरी
θ = 30° → दूरी = √3 × ऊँचाई
θ = 60° → दूरी = ऊँचाई ÷ √3
हल सहित उदाहरण: एक मीनार 30 मी ऊँची है और उसकी छाया 30√3 मी लंबी है। तब tan θ = 30 ÷ 30√3 = 1/√3, अतः θ = 30°।
What exams actually ask
SSC CGL and CHSL put two to three trigonometry questions in Tier-1 quantitative aptitude, almost always a simplification using an identity or a standard-angle substitution. Their standard trap is to list an intermediate step as an option — for (1 + tan²θ)cos²θ, the option sec²θ is always present, because that is exactly where a rushed candidate stops.
RRB NTPC and Group D stay at the easier end: a direct standard-angle value, one Pythagorean triad, one shadow problem. The trap here is the reciprocal pair — the question asks for cosec θ while the options have been written to look like values of sin θ.
BPSC TRE-4 secondary mathematics takes trigonometry from the Class 9–10 syllabus, so expect one heights-and-distances word problem, often with two angles and a walked distance, plus one identity-based simplification.
UPSC CSAT rarely goes past basic ratios, and when it does it buries them inside a geometry or mensuration question instead of labelling them trigonometry.
Across every one of these papers the same two mistakes cost the marks: dividing by √3 where you should have multiplied, and measuring the angle from the vertical instead of the horizontal.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
एसएससी सीजीएल और सीएचएसएल टियर-1 की संख्यात्मक अभिरुचि में दो-तीन त्रिकोणमिति प्रश्न रखते हैं, प्रायः किसी सर्वसमिका या मानक कोण प्रतिस्थापन से सरलीकरण। इनका नियमित जाल यह है कि बीच का कोई चरण ही विकल्प बना दिया जाता है — (1 + tan²θ)cos²θ में sec²θ सदा विकल्पों में रहता है, क्योंकि जल्दबाज़ी करने वाला अभ्यर्थी ठीक वहीं रुक जाता है।
आरआरबी एनटीपीसी और ग्रुप डी सरल छोर पर रहते हैं: सीधा मानक कोण मान, एक पाइथागोरस त्रिक, एक छाया वाला प्रश्न। यहाँ जाल व्युत्क्रम जोड़ी का है — प्रश्न cosec θ पूछता है जबकि विकल्प sin θ के मान जैसे दिखने के लिए गढ़े गए होते हैं।
बीपीएससी टीआरई-4 माध्यमिक गणित त्रिकोणमिति कक्षा 9–10 के पाठ्यक्रम से लेता है, अतः एक ऊँचाई-दूरी का शब्द प्रश्न — प्रायः दो कोणों और चली गई दूरी के साथ — तथा एक सर्वसमिका आधारित सरलीकरण की अपेक्षा रखिए।
यूपीएससी सीसैट मूल अनुपातों से आगे कम ही जाता है, और जब जाता भी है तो उन्हें त्रिकोणमिति कहकर नहीं, बल्कि किसी ज्यामिति या क्षेत्रमिति प्रश्न के भीतर छिपाकर पूछता है।
Points to Remember
• sin = P/H, cos = B/H, tan = P/B. cosec, sec and cot are their reciprocals in that same order.
• sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1. Cosine is this list reversed.
• tan 0° = 0, tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 90° is undefined.
• sin²θ + cos²θ = 1 · 1 + tan²θ = sec²θ · 1 + cot²θ = cosec²θ.
• sin(90° − θ) = cos θ, tan(90° − θ) = cot θ, sec(90° − θ) = cosec θ.
• Pythagorean triads: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Recognising one removes the need for Pythagoras.
• Angle of elevation and angle of depression are both measured from the horizontal.
• tan θ = height ÷ horizontal distance, in every heights-and-distances question.
• At 45° height equals distance. At 30° distance is √3 times the height. At 60° distance is the height divided by √3.
• sin θ and cos θ never exceed 1. sec θ and cosec θ never lie between −1 and 1.
⚠ Exam Tip 1: Before computing a heights-and-distances answer, decide whether the horizontal distance should come out larger or smaller than the height. A small angle means a long shadow; a large angle means a short one. This one-second check catches the √3 inversion, which is the single most common wrong answer deliberately offered in these questions.
⚠ Exam Tip 2: When a simplification looks unfamiliar, convert every term to sin and cos before attempting anything else. Almost every SSC simplification collapses in one line after that conversion, and it removes the need to recall which identity applies — the identity you need becomes visible on its own once the whole expression is written in the same two functions.
याद रखने योग्य बिंदु
• sin = लंब/कर्ण, cos = आधार/कर्ण, tan = लंब/आधार। cosec, sec और cot इसी क्रम में इनके व्युत्क्रम हैं।
आयु संबंधी प्रश्न — एक चर, एक सारणी, और याद रखने योग्य चार सूत्र
Age problems are easy algebra wearing a confusing costume. Nothing in them is harder than a two-step linear equation. The whole difficulty sits in four small words — 'ago', 'hence', 'was' and 'will be' — and in the habit of subtracting years from one person and forgetting to subtract them from the other.
That is the one rule the chapter really tests. Time moves for everybody at the same rate. If you go back 5 years, every person in the question goes back 5 years. If you go forward 12, everyone goes forward 12.
So the method never changes. Name the present age with one letter, build a small table of past, present and future, translate each sentence into one equation, and solve. One variable is almost always enough; reaching for two is what turns a 40-second question into a three-minute one.
SSC CGL and CHSL, RRB NTPC and Group D, and BPSC TRE-4 elementary mathematics all carry one or two of these in every paper.
आयु संबंधी प्रश्न भ्रम के वेश में आया सरल बीजगणित हैं। इनमें कुछ भी दो चरण वाले रैखिक समीकरण से कठिन नहीं होता। सारी कठिनाई चार छोटे शब्दों में बैठी है — 'पूर्व', 'बाद', 'था' और 'होगा' — और इस आदत में कि वर्ष एक व्यक्ति में से घटा दिए जाएँ और दूसरे में से घटाना भूल जाएँ।
यही एक नियम है जिसे यह अध्याय वास्तव में जाँचता है। समय सबके लिए एक ही गति से चलता है। यदि आप 5 वर्ष पीछे जाते हैं तो प्रश्न का हर व्यक्ति 5 वर्ष पीछे जाता है। यदि 12 वर्ष आगे जाते हैं तो सब 12 वर्ष आगे।
अतः विधि कभी नहीं बदलती। वर्तमान आयु को एक अक्षर से नाम दीजिए, भूत-वर्तमान-भविष्य की एक छोटी सारणी बनाइए, हर वाक्य को एक समीकरण में बदलिए, और हल कर लीजिए। एक चर लगभग सदा पर्याप्त होता है; दो चर उठाना ही 40 सेकंड के प्रश्न को तीन मिनट का बना देता है।
एसएससी सीजीएल तथा सीएचएसएल, आरआरबी एनटीपीसी तथा ग्रुप डी, और बीपीएससी टीआरई-4 प्रारंभिक गणित — हर प्रश्नपत्र में इनमें से एक-दो आते हैं।
The method, in four steps.
Step 1 — Let the smaller present age be x. If a ratio is given, use it straight away: ages in the ratio 4 : 3 become 4x and 3x, not two separate letters.
Step 2 — Write the shift. 't years ago' means subtract t from every age. 't years hence' means add t to every age.
Step 3 — Turn the second sentence into one equation and solve.
Work one. A father is 3 times as old as his son; after 12 years he will be twice as old. Let the son be x, so the father is 3x. After 12 years: 3x + 12 = 2(x + 12), which gives 3x + 12 = 2x + 24, so x = 12. The son is 12 and the father is 36. Check: in 12 years they are 24 and 48, and 48 is twice 24.
Step 4 — Always check by putting the answer back into the sentence you did not use to build the equation. It costs five seconds and catches every sign error.
विधि, चार चरणों में।
चरण 1 — छोटी वर्तमान आयु को x मान लीजिए। यदि अनुपात दिया है तो उसे तुरंत प्रयोग कीजिए: 4 : 3 के अनुपात वाली आयु 4x और 3x बनती है, दो अलग अक्षर नहीं।
चरण 2 — खिसकाव लिखिए। 't वर्ष पूर्व' का अर्थ है हर आयु में से t घटाना। 't वर्ष बाद' का अर्थ है हर आयु में t जोड़ना।
चरण 3 — दूसरे वाक्य को एक समीकरण में बदलिए और हल कीजिए।
एक करके देखिए। एक पिता अपने पुत्र से 3 गुना बड़ा है; 12 वर्ष बाद वह दोगुना होगा। पुत्र को x मानिए, तो पिता 3x। 12 वर्ष बाद: 3x + 12 = 2(x + 12), जिससे 3x + 12 = 2x + 24, अतः x = 12। पुत्र 12 वर्ष का है और पिता 36 वर्ष का। जाँच: 12 वर्ष बाद वे 24 तथा 48 के होंगे, और 48, 24 का दोगुना है।
चरण 4 — उत्तर को सदा उस वाक्य में रखकर जाँचिए जिससे आपने समीकरण नहीं बनाया था। इसमें पाँच सेकंड लगते हैं और चिह्न की हर भूल पकड़ी जाती है।
Ratio questions are the commonest form, and they all go the same way.
The ratio of A's and B's present ages is 4 : 3. After 6 years it becomes 6 : 5. Find their present ages.
Take the ages as 4x and 3x. Then (4x + 6) / (3x + 6) = 6 / 5. Cross-multiply: 5(4x + 6) = 6(3x + 6), so 20x + 30 = 18x + 36, so 2x = 6 and x = 3. A is 12 and B is 9. Check: after 6 years they are 18 and 15, and 18 : 15 does reduce to 6 : 5.
Now one that looks harder and is not. The difference between two people's ages is 10 years, and 15 years ago the elder was twice as old as the younger. Let the younger be x, so the elder is x + 10 — the difference is given, so it costs no second variable. Fifteen years ago: (x + 10 − 15) = 2(x − 15), so x − 5 = 2x − 30, so x = 25. The younger is 25 and the elder is 35.
Notice what made both easy: the ratio and the difference each replaced a second unknown.
अनुपात वाले प्रश्न सबसे अधिक आते हैं, और सब एक ही तरह चलते हैं।
A तथा B की वर्तमान आयु का अनुपात 4 : 3 है। 6 वर्ष बाद यह 6 : 5 हो जाता है। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
आयु 4x तथा 3x लीजिए। तब (4x + 6) / (3x + 6) = 6 / 5। तिर्यक गुणा कीजिए: 5(4x + 6) = 6(3x + 6), अतः 20x + 30 = 18x + 36, अतः 2x = 6 और x = 3। A 12 वर्ष का है और B 9 वर्ष का। जाँच: 6 वर्ष बाद वे 18 तथा 15 के होंगे, और 18 : 15 सचमुच 6 : 5 बनता है।
अब एक जो कठिन दिखता है किंतु है नहीं। दो व्यक्तियों की आयु में 10 वर्ष का अंतर है, और 15 वर्ष पूर्व बड़ा व्यक्ति छोटे से दोगुना था। छोटे को x मानिए, तो बड़ा x + 10 — अंतर दिया है, अतः दूसरा चर लेने की आवश्यकता ही नहीं। 15 वर्ष पूर्व: (x + 10 − 15) = 2(x − 15), अतः x − 5 = 2x − 30, अतः x = 25। छोटा 25 वर्ष का है और बड़ा 35 वर्ष का।
ध्यान दीजिए कि दोनों को सरल किसने बनाया: अनुपात तथा अंतर, दोनों ने एक-एक दूसरे अज्ञात की जगह ले ली।
Four formulas cover almost every direct question, and each one saves a full round of algebra.
चार सूत्र लगभग हर सीधे प्रश्न को ढक लेते हैं, और हर एक बीजगणित का पूरा एक चक्र बचाता है।
What exams actually ask.
SSC CGL and CHSL keep age problems to one or two sentences and one unknown, and they like the father-and-son form. The twist is usually a ratio that changes, because that is where a careless student adds the years to only one side of the fraction.
RRB NTPC and Group D prefer sum-and-difference and 'average age of a family' questions, where the family gains a member and the average changes. Treat those as total-age questions: total = average × number of people.
BPSC TRE-4 elementary mathematics asks the plain two-person form and keeps the numbers small enough to verify by substitution inside the exam hall.
CTET frames it around a classroom — the ages of two students, or a teacher and a pupil — but the algebra is identical.
The three costliest traps: shifting the years for one person and not the other; reading 'twice as old as he was' as 'twice as old as the other'; and answering with x when the question asked for the father's age, which is 3x. Underline what is being asked before you start solving.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं।
एसएससी सीजीएल तथा सीएचएसएल आयु के प्रश्न एक-दो वाक्यों और एक अज्ञात तक रखते हैं, और उन्हें पिता-पुत्र वाला रूप भाता है। घुमाव प्रायः बदलता हुआ अनुपात होता है, क्योंकि वहीं लापरवाह विद्यार्थी वर्ष केवल भिन्न के एक पक्ष में जोड़ बैठता है।
आरआरबी एनटीपीसी तथा ग्रुप डी योग-और-अंतर तथा 'परिवार की औसत आयु' वाले प्रश्न पसंद करते हैं, जहाँ परिवार में एक सदस्य बढ़ता है और औसत बदल जाता है। उन्हें कुल-आयु के प्रश्न की तरह लीजिए: कुल = औसत × व्यक्तियों की संख्या।
बीपीएससी टीआरई-4 प्रारंभिक गणित सीधा दो-व्यक्ति वाला रूप पूछता है और संख्याएँ इतनी छोटी रखता है कि परीक्षा भवन में ही प्रतिस्थापन से जाँची जा सकें।
सीटीईटी इसे कक्षा के इर्द-गिर्द रखता है — दो विद्यार्थियों की आयु, अथवा शिक्षक और छात्र की — किंतु बीजगणित वही रहता है।
सबसे भारी तीन जाल: वर्ष एक व्यक्ति के लिए खिसकाना और दूसरे के लिए नहीं; 'जितना वह पहले था उसका दोगुना' को 'दूसरे का दोगुना' पढ़ लेना; और x उत्तर लिख देना जबकि प्रश्न पिता की आयु पूछ रहा था, जो 3x है। हल आरंभ करने से पहले रेखांकित कीजिए कि पूछा क्या गया है।
Points to Remember
· Let the smaller present age be x; use a given ratio as 4x and 3x rather than two letters.
· 't years ago' subtracts t from every age. 't years hence' adds t to every age. Nobody is exempt.
· The difference between two ages is constant forever. A given difference removes one unknown.
· Sum S and difference D: elder = (S + D) / 2, younger = (S − D) / 2.
· n times now, m times t years ago: younger = t(m − 1) / (m − n).
· n times now, m times t years hence: younger = t(m − 1) / (n − m).
· Average age questions are total-age questions: total = average × number of people.
· Substitute your answer back into the unused sentence before marking it.
⚠ Exam Tip 1: If the options are plain numbers, work backwards. Put each option into the second condition and stop at the one that fits — with four options that is faster than solving, and it cannot go wrong on a sign.
⚠ Exam Tip 2: Before you solve, circle whose age the question wants. Setting x as the son and then marking 12 when the paper asked for the father is the single most common way marks are lost in this chapter, and the wrong answer is always sitting there as an option.
याद रखने योग्य बातें
· छोटी वर्तमान आयु को x मानिए; दिए गए अनुपात को दो अक्षरों के बजाय 4x तथा 3x की तरह प्रयोग कीजिए।
· 't वर्ष पूर्व' हर आयु में से t घटाता है। 't वर्ष बाद' हर आयु में t जोड़ता है। कोई छूटता नहीं।
· दो आयुओं का अंतर सदा स्थिर रहता है। दिया हुआ अंतर एक अज्ञात हटा देता है।
· योग S तथा अंतर D: बड़ी आयु = (S + D) / 2, छोटी आयु = (S − D) / 2।
· अभी n गुनी, t वर्ष पूर्व m गुनी: छोटी आयु = t(m − 1) / (m − n)।
निर्देशांक ज्यामिति — छह सूत्र जो इस अध्याय के लगभग हर प्रश्न का उत्तर दे देते हैं
Coordinate geometry is the chapter where the formula sheet really is the syllabus. Plane geometry asks you to prove things; coordinate geometry asks you to substitute numbers into one of six formulas and arrive at an answer. Nothing has to be constructed and nothing has to be proved.
So the skill being tested is not calculation. It is recognising which formula a question is asking for, from wording that is deliberately varied. 'How far apart', 'the length of the side' and 'the radius' are all the distance formula. 'Divides in the ratio', 'trisects' and 'the point one third of the way along' are all the section formula.
First, the ground rules. A point is written (x, y), always x before y. The plane is cut into four quadrants, numbered anticlockwise from the top right: the first is plus-plus, the second minus-plus, the third minus-minus and the fourth plus-minus. Every point on the x-axis has y = 0, and every point on the y-axis has x = 0.
SSC CGL and CHSL, RRB NTPC, BPSC TRE-4 elementary mathematics and the CTET maths paper all ask from this chapter.
निर्देशांक ज्यामिति वह अध्याय है जिसमें सूत्र-पत्र ही वस्तुतः पाठ्यक्रम है। समतल ज्यामिति सिद्ध करने को कहती है; निर्देशांक ज्यामिति छह सूत्रों में से किसी एक में संख्याएँ रखने और उत्तर पर पहुँचने को कहती है। न कुछ रचना करनी है, न कुछ सिद्ध।
अतः जाँची जा रही कुशलता गणना नहीं है। वह यह पहचानना है कि प्रश्न किस सूत्र की माँग कर रहा है, और वह भी जानबूझकर बदली हुई शब्दावली से। 'कितनी दूर', 'भुजा की लंबाई' तथा 'त्रिज्या' — तीनों दूरी सूत्र हैं। 'अनुपात में बाँटता है', 'त्रिभाजित करता है' तथा 'एक तिहाई दूरी पर स्थित बिंदु' — तीनों विभाजन सूत्र हैं।
पहले आधारभूत नियम। बिंदु (x, y) लिखा जाता है, सदा x पहले और y बाद में। तल चार चतुर्थांशों में कटा है, जो ऊपर-दाएँ से वामावर्त क्रम में गिने जाते हैं: पहला धन-धन, दूसरा ऋण-धन, तीसरा ऋण-ऋण और चौथा धन-ऋण। x-अक्ष के हर बिंदु का y = 0 होता है, और y-अक्ष के हर बिंदु का x = 0।
एसएससी सीजीएल तथा सीएचएसएल, आरआरबी एनटीपीसी, बीपीएससी टीआरई-4 प्रारंभिक गणित और सीटीईटी का गणित प्रश्नपत्र — सब इसी अध्याय से पूछते हैं।
The first three formulas, with the numbers worked through.
Distance between two points: d equals the square root of (x2 − x1) squared plus (y2 − y1) squared. Take (3, 4) and (−1, 1). The differences are −4 and −3, their squares are 16 and 9, and the root of 25 is 5. Distance from the origin is simply the root of (x squared plus y squared), because the origin is (0, 0).
Midpoint of a segment: average the coordinates. The midpoint of (2, 3) and (8, 7) is ((2 + 8)/2, (3 + 7)/2), which is (5, 5).
Section formula, for a point dividing the join of two points internally in the ratio m : n: x equals (m·x2 + n·x1) divided by (m + n), and y equals (m·y2 + n·y1) divided by (m + n). Take (1, 2) and (7, 8) in the ratio 1 : 2. Then x is (1×7 + 2×1)/3, which is 3, and y is (1×8 + 2×2)/3, which is 4. The point is (3, 4).
Notice the cross-over: m multiplies the SECOND point's coordinate, not the first. Getting that backwards is the most frequent error in the chapter, and the midpoint formula is just this formula with m = n = 1.
पहले तीन सूत्र, संख्याओं के साथ हल करके।
दो बिंदुओं के बीच दूरी: d = (x2 − x1) का वर्ग जोड़ (y2 − y1) का वर्ग, उसका वर्गमूल। (3, 4) तथा (−1, 1) लीजिए। अंतर हैं −4 तथा −3, उनके वर्ग 16 तथा 9, और 25 का मूल 5। मूल बिंदु से दूरी केवल (x का वर्ग जोड़ y का वर्ग) का मूल है, क्योंकि मूल बिंदु (0, 0) है।
रेखाखंड का मध्य बिंदु: निर्देशांकों का औसत लीजिए। (2, 3) तथा (8, 7) का मध्य बिंदु ((2 + 8)/2, (3 + 7)/2) है, अर्थात (5, 5)।
विभाजन सूत्र, उस बिंदु के लिए जो दो बिंदुओं को मिलाने वाले खंड को m : n के अनुपात में अंतः विभाजित करता है: x = (m·x2 + n·x1) भाग (m + n), और y = (m·y2 + n·y1) भाग (m + n)। (1, 2) तथा (7, 8) को 1 : 2 के अनुपात में लीजिए। तब x = (1×7 + 2×1)/3 = 3, और y = (1×8 + 2×2)/3 = 4। बिंदु (3, 4) है।
पार जाने वाले क्रम पर ध्यान दीजिए: m दूसरे बिंदु के निर्देशांक से गुणा होता है, पहले से नहीं। इसे उलटा कर देना इस अध्याय की सबसे बार-बार होने वाली भूल है, और मध्य बिंदु सूत्र इसी सूत्र का m = n = 1 वाला रूप है।
The next three.
Centroid of a triangle — the point where the three medians meet: average all three vertices. For (1, 2), (3, 4) and (5, 0) the centroid is ((1 + 3 + 5)/3, (2 + 4 + 0)/3), which is (3, 2). Divide by three, never by two; the midpoint formula's 2 sitting in your head is what produces the wrong answer here.
Area of a triangle from its vertices: area equals one half of the absolute value of x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2). For (0, 0), (4, 0) and (0, 3) this gives one half of |0 + 12 + 0|, which is 6 — and you can check it against half base times height, since that triangle is right-angled with legs 4 and 3.
The absolute value matters. Area is never negative, so if your bracket comes out as −6, the area is 6.
Collinearity falls straight out of this. Three points lie on one straight line exactly when the triangle they form has zero area, so put them in the area formula and see whether it returns 0. That is much faster than comparing slopes.
Slope of a line through two points: m equals (y2 − y1) divided by (x2 − x1). Through (2, 3) and (4, 7) the slope is 4/2, which is 2.
अगले तीन।
त्रिभुज का केंद्रक — वह बिंदु जहाँ तीनों माध्यिकाएँ मिलती हैं: तीनों शीर्षों का औसत लीजिए। (1, 2), (3, 4) तथा (5, 0) के लिए केंद्रक ((1 + 3 + 5)/3, (2 + 4 + 0)/3) है, अर्थात (3, 2)। तीन से भाग दीजिए, दो से कभी नहीं; दिमाग़ में बैठा मध्य बिंदु सूत्र का 2 ही यहाँ गलत उत्तर पैदा करता है।
शीर्षों से त्रिभुज का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = आधा × |x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|। (0, 0), (4, 0) तथा (0, 3) के लिए यह आधा × |0 + 12 + 0| देता है, अर्थात 6 — और इसे आधा × आधार × ऊँचाई से जाँचा जा सकता है, क्योंकि वह त्रिभुज समकोण है जिसकी भुजाएँ 4 तथा 3 हैं।
निरपेक्ष मान महत्वपूर्ण है। क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं होता, अतः यदि कोष्ठक −6 आए तो क्षेत्रफल 6 है।
संरेखता सीधे इसी से निकल आती है। तीन बिंदु ठीक तभी एक सरल रेखा पर होते हैं जब उनसे बना त्रिभुज शून्य क्षेत्रफल का हो, अतः उन्हें क्षेत्रफल सूत्र में रखिए और देखिए कि 0 आता है या नहीं। यह प्रवणताएँ मिलाने से कहीं तेज़ है।
What slope is for, and the shapes questions ask you to name.
Two lines are parallel when their slopes are equal. Two lines are perpendicular when the product of their slopes is −1, so a line perpendicular to one of slope 3 has slope −1/3. A horizontal line has slope 0; a vertical line has no defined slope at all, because the denominator becomes zero.
The straight line in slope-intercept form is y = mx + c, where m is the slope and c is where the line cuts the y-axis.
Many questions hand you four points and ask what shape they make. Do it with two formulas only. Compute all four sides with the distance formula, then both diagonals. Four equal sides with equal diagonals is a square; four equal sides with unequal diagonals is a rhombus; opposite sides equal with equal diagonals is a rectangle; opposite sides equal with unequal diagonals is a parallelogram.
For triangles the same idea: three equal sides is equilateral, two equal is isosceles, and if the squares of two sides add up to the square of the third it is right-angled.
None of this needs a diagram, though a rough sketch catches sign errors quickly.
प्रवणता किस काम आती है, और प्रश्न किन आकृतियों का नाम पुछवाते हैं।
दो रेखाएँ तब समांतर होती हैं जब उनकी प्रवणताएँ बराबर हों। दो रेखाएँ तब लंबवत होती हैं जब उनकी प्रवणताओं का गुणनफल −1 हो, अतः प्रवणता 3 वाली रेखा पर लंब रेखा की प्रवणता −1/3 होगी। क्षैतिज रेखा की प्रवणता 0 होती है; ऊर्ध्वाधर रेखा की प्रवणता परिभाषित ही नहीं होती, क्योंकि हर शून्य हो जाता है।
सरल रेखा का प्रवणता-अंतःखंड रूप y = mx + c है, जहाँ m प्रवणता है और c वह स्थान जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है।
अनेक प्रश्न चार बिंदु देकर पूछते हैं कि वे कौन-सी आकृति बनाते हैं। इसे केवल दो सूत्रों से कीजिए। दूरी सूत्र से चारों भुजाएँ निकालिए, फिर दोनों विकर्ण। चार बराबर भुजाएँ और बराबर विकर्ण अर्थात वर्ग; चार बराबर भुजाएँ किंतु असमान विकर्ण अर्थात समचतुर्भुज; सम्मुख भुजाएँ बराबर और विकर्ण बराबर अर्थात आयत; सम्मुख भुजाएँ बराबर किंतु विकर्ण असमान अर्थात समांतर चतुर्भुज।
त्रिभुजों के लिए वही विचार: तीन बराबर भुजाएँ अर्थात समबाहु, दो बराबर अर्थात समद्विबाहु, और यदि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी के वर्ग के बराबर हो तो समकोण।
What exams actually ask.
SSC CGL and CHSL ask direct substitution — distance, midpoint, centroid, area — with small whole numbers chosen so the answer comes out clean. If your answer is an ugly surd, you have almost certainly mis-subtracted a negative coordinate.
RRB NTPC keeps to quadrants, distance and midpoint, and likes asking which quadrant a point with one negative coordinate falls in.
BPSC TRE-4 elementary mathematics asks the section formula and the area formula, often disguised: 'are these three points collinear' is the area formula, and 'find the ratio in which the x-axis divides the join' is the section formula run backwards, using the fact that y = 0 on the x-axis.
The CTET maths paper stays with plotting points, quadrants and distance.
Three traps worth naming. Writing the coordinates in the wrong order, since (3, 5) and (5, 3) sit in different places. Dividing by 2 instead of 3 in the centroid. And forgetting the absolute value in the area formula and reporting a negative area, which is never a valid answer and yet appears as an option.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं।
एसएससी सीजीएल तथा सीएचएसएल सीधा प्रतिस्थापन पूछते हैं — दूरी, मध्य बिंदु, केंद्रक, क्षेत्रफल — छोटी पूर्ण संख्याओं के साथ, जो इस तरह चुनी जाती हैं कि उत्तर साफ़ आए। यदि आपका उत्तर बेढंगा करणी बने, तो लगभग निश्चित है कि किसी ऋणात्मक निर्देशांक का घटाव गलत हुआ है।
आरआरबी एनटीपीसी चतुर्थांश, दूरी तथा मध्य बिंदु तक रहता है, और उसे यह पूछना भाता है कि एक ऋणात्मक निर्देशांक वाला बिंदु किस चतुर्थांश में पड़ता है।
बीपीएससी टीआरई-4 प्रारंभिक गणित विभाजन सूत्र तथा क्षेत्रफल सूत्र पूछता है, प्रायः वेश बदलकर: 'क्या ये तीन बिंदु संरेख हैं' क्षेत्रफल सूत्र है, और 'x-अक्ष उस खंड को किस अनुपात में बाँटता है' विभाजन सूत्र उलटा चलाना है, इस तथ्य से कि x-अक्ष पर y = 0 होता है।
सीटीईटी का गणित प्रश्नपत्र बिंदु आलेखित करने, चतुर्थांश तथा दूरी तक रहता है।
तीन जाल नाम लेने योग्य हैं। निर्देशांक गलत क्रम में लिख देना, क्योंकि (3, 5) तथा (5, 3) अलग-अलग जगह बैठते हैं। केंद्रक में 3 के बजाय 2 से भाग देना। और क्षेत्रफल सूत्र में निरपेक्ष मान भूलकर ऋणात्मक क्षेत्रफल बता देना, जो कभी वैध उत्तर नहीं होता और फिर भी विकल्पों में रहता है।
Points to Remember
· A point is (x, y), x always first. Quadrants anticlockwise from top right: (+,+), (−,+), (−,−), (+,−).
· On the x-axis y = 0; on the y-axis x = 0.
· Distance = root of [(x2 − x1)² + (y2 − y1)²]. From the origin, root of (x² + y²).
· Midpoint = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
· Section in ratio m : n = ((m·x2 + n·x1)/(m + n), (m·y2 + n·y1)/(m + n)) — m goes with the second point.
· Centroid = average of all three vertices, divided by 3.
· Area = ½|x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|; take the absolute value.
· Three points are collinear when that area is 0.
· Slope = (y2 − y1)/(x2 − x1). Parallel: slopes equal. Perpendicular: product of slopes = −1.
· Line: y = mx + c, where c is the y-intercept.
⚠ Exam Tip 1: Write the two points one above the other before you substitute, with x over x and y over y. Almost every wrong answer in this chapter comes from a subtraction done in the wrong order or a minus sign lost inside a bracket, and the vertical layout makes both visible.
⚠ Exam Tip 2: Treat 'collinear' as a keyword that means 'use the area formula and expect zero'. Students who instead compute and compare two slopes get the same answer, but take three times as long and have two divisions in which to slip.
याद रखने योग्य बातें
· बिंदु (x, y) होता है, x सदा पहले। चतुर्थांश ऊपर-दाएँ से वामावर्त: (+,+), (−,+), (−,−), (+,−)।
· x-अक्ष पर y = 0; y-अक्ष पर x = 0।
· दूरी = [(x2 − x1)² + (y2 − y1)²] का मूल। मूल बिंदु से, (x² + y²) का मूल।
· मध्य बिंदु = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)।
श्रेढ़ी (Progressions) — छह सूत्र जो समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी का पूरा अध्याय हल कर देते हैं
Every question that asks you to continue a number series, split a payment into equal instalments, or work out how a population grows is really asking about a progression — a list of numbers built by one fixed rule.
Only two rules are worth knowing. In an arithmetic progression (AP) you keep adding the same number: 5, 9, 13, 17 — add 4 each time. In a geometric progression (GP) you keep multiplying by the same number: 3, 6, 12, 24 — multiply by 2 each time.
That single distinction — add versus multiply — decides every formula you will use. Six formulas cover the entire chapter: the nth term and the sum for an AP, the nth term and the sum for a GP, the sum of an infinite GP, and the two means. Learn those six and you never have to write a series out term by term again.
जो भी प्रश्न आपसे संख्या श्रृंखला आगे बढ़ाने, किसी भुगतान को बराबर किश्तों में बाँटने, या जनसंख्या की वृद्धि निकालने को कहता है — वह असल में श्रेढ़ी का ही प्रश्न है। श्रेढ़ी यानी ऐसी संख्याओं की सूची जो किसी एक निश्चित नियम से बनी हो।
जानने लायक नियम केवल दो हैं। समांतर श्रेढ़ी (AP) में आप हर बार वही संख्या जोड़ते जाते हैं: 5, 9, 13, 17 — हर बार 4 जोड़िए। गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में आप हर बार वही संख्या गुणा करते जाते हैं: 3, 6, 12, 24 — हर बार 2 से गुणा कीजिए।
यही एक अंतर — जोड़ना बनाम गुणा करना — तय करता है कि कौन-सा सूत्र लगेगा। पूरा अध्याय छह सूत्रों में समा जाता है: AP का n वाँ पद और योग, GP का n वाँ पद और योग, अनंत GP का योग, और दो माध्य। ये छह याद कर लीजिए, फिर कभी श्रेढ़ी को पद-दर-पद लिखने की ज़रूरत नहीं पड़ेगी।
An AP has a first term a and a common difference d, where d = any term minus the one before it. Always check d with two different pairs; if they disagree, it is not an AP.
nth term: aₙ = a + (n − 1)d
The (n − 1) is where marks are lost. The first term is already sitting there, so reaching the 13th term takes only 12 steps, not 13.
Worked example — the 13th term of 7, 11, 15, 19, …
a = 7, d = 4, n = 13 → a₁₃ = 7 + (13 − 1) × 4 = 7 + 48 = 55.
The same formula run backwards counts terms. How many terms in 6, 11, 16, …, 101? Set aₙ = 101: 101 = 6 + (n − 1)5 → 95 = 5(n − 1) → n − 1 = 19 → n = 20. Nineteen gaps, twenty terms.
समांतर श्रेढ़ी में एक प्रथम पद a होता है और एक सार्व अंतर d, जहाँ d = कोई भी पद घटाओ उससे पिछला पद। d को हमेशा दो अलग-अलग जोड़ों से जाँचिए; यदि दोनों अलग आएँ तो वह AP है ही नहीं।
n वाँ पद: aₙ = a + (n − 1)d
अंक यहीं कटते हैं — इसी (n − 1) पर। प्रथम पद तो पहले से मौजूद है, इसलिए 13वें पद तक पहुँचने में केवल 12 कदम लगते हैं, 13 नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण — 7, 11, 15, 19, … का 13वाँ पद।
a = 7, d = 4, n = 13 → a₁₃ = 7 + (13 − 1) × 4 = 7 + 48 = 55।
यही सूत्र उल्टा चलाने पर पदों की संख्या बता देता है। 6, 11, 16, …, 101 में कितने पद हैं? aₙ = 101 रखिए: 101 = 6 + (n − 1)5 → 95 = 5(n − 1) → n − 1 = 19 → n = 20। उन्नीस अंतराल, बीस पद।
Sum of the first n terms:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
and, when the last term l is already visible,
Sₙ = n/2 (a + l).
The second form is far faster whenever both ends are given. Sum of all two-digit numbers divisible by 7: the list is 14, 21, …, 98, so n = (98 − 14)/7 + 1 = 13, and S = 13/2 × (14 + 98) = 13 × 56 = 728.
Two results worth memorising outright: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2, and the sum of the first n odd numbers = n².
The arithmetic mean of a and b is (a + b)/2 — and in any AP every term is the average of its two neighbours. That is the fastest way to fill a missing middle term: add the two around it and halve.
प्रथम n पदों का योग:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
और जब अंतिम पद l पहले से दिख रहा हो,
Sₙ = n/2 (a + l)।
जब श्रेढ़ी के दोनों सिरे दिए हों, दूसरा रूप कहीं तेज़ है। 7 से विभाज्य सभी दो अंकों की संख्याओं का योग: सूची है 14, 21, …, 98, अतः n = (98 − 14)/7 + 1 = 13, और S = 13/2 × (14 + 98) = 13 × 56 = 728।
दो परिणाम सीधे रट लेने लायक हैं: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2, और प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।
a और b का समांतर माध्य होता है (a + b)/2 — और किसी भी AP में हर पद अपने दोनों पड़ोसियों का औसत होता है। बीच का छूटा हुआ पद भरने का यही सबसे तेज़ तरीका है: दोनों बगल वाले जोड़िए और आधा कर दीजिए।
A GP has a first term a and a common ratio r, found by dividing any term by the one before it.
nth term: aₙ = a · r⁽ⁿ⁻¹⁾
Sum of n terms: Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) when r > 1, and a(1 − rⁿ)/(1 − r) when r < 1.
Infinite sum: S∞ = a/(1 − r) — valid only when r lies strictly between −1 and 1.
Worked example — the 6th term of 3, 6, 12, 24, … is 3 × 2⁵ = 96. Five multiplications, not six.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … never passes 2, because S∞ = 1/(1 − 1/2) = 2. An endless sum can still be finite, and that catches students out every single year.
The geometric mean of a and b is √(ab). For 8 and 18, GM = √144 = 12 while AM = 13 — the AM is never smaller than the GM.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में एक प्रथम पद a होता है और एक सार्व अनुपात r, जो किसी भी पद को उससे पिछले पद से भाग देने पर मिलता है।
n वाँ पद: aₙ = a · r⁽ⁿ⁻¹⁾
n पदों का योग: Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) जब r > 1 हो, और a(1 − rⁿ)/(1 − r) जब r < 1 हो।
अनंत योग: S∞ = a/(1 − r) — यह केवल तभी मान्य है जब r पूरी तरह −1 और 1 के बीच हो।
हल किया हुआ उदाहरण — 3, 6, 12, 24, … का छठा पद = 3 × 2⁵ = 96। पाँच बार गुणा, छह बार नहीं।
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … कभी 2 से आगे नहीं जाता, क्योंकि S∞ = 1/(1 − 1/2) = 2। अनंत तक चलने वाला योग भी सीमित हो सकता है — यही बात हर साल विद्यार्थियों को चकमा देती है।
What exams actually ask
SSC CGL and CHSL keep it computational: find a stated term, count how many terms a series has, or sum a short AP. The favourite trap is the (n − 1) — an option built from a + nd is planted right beside the correct answer in almost every set.
BPSC TRE-4 frames it through the school syllabus, where patterns and series sit in middle-school mathematics: the next term, or a missing middle term that the neighbour-average shortcut answers in one line.
CTET asks the same arithmetic inside a classroom-flavoured stem — a pattern of tiles or a seating row — but the calculation underneath is still aₙ = a + (n − 1)d.
RRB NTPC and Group D favour infinite GPs and simple ratios, usually disguised inside a bouncing-ball or depreciation story.
UPSC Prelims rarely asks a progression outright, but uses the vocabulary in growth statements: arithmetic growth is a fixed amount each year, geometric growth a fixed percentage.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL और CHSL इसे गणना तक सीमित रखते हैं: कोई बताया गया पद निकालिए, श्रेढ़ी में कितने पद हैं गिनिए, या किसी छोटी AP का योग कीजिए। सबसे प्रिय जाल है वही (n − 1) — a + nd से बना विकल्प लगभग हर सेट में सही उत्तर के ठीक बगल में रखा जाता है।
BPSC TRE-4 इसे विद्यालयी पाठ्यक्रम के ढाँचे में पूछता है, जहाँ पैटर्न और श्रेढ़ी माध्यमिक स्तर के गणित में आते हैं: अगला पद क्या होगा, या बीच का छूटा पद — जिसे पड़ोसी-औसत वाली तरकीब एक पंक्ति में हल कर देती है।
CTET वही गणित कक्षा के संदर्भ में लपेट कर पूछता है — टाइलों का पैटर्न या बैठने की पंक्ति — पर नीचे की गणना वही aₙ = a + (n − 1)d रहती है।
RRB NTPC और ग्रुप D को अनंत GP और सरल अनुपात पसंद हैं, प्रायः उछलती गेंद या मूल्यह्रास की कहानी में छिपाकर।
UPSC प्रारंभिक में श्रेढ़ी सीधे कम पूछी जाती है, पर वृद्धि से जुड़े कथनों में यही शब्दावली आती है: समांतर वृद्धि यानी हर वर्ष एक निश्चित मात्रा, गुणोत्तर वृद्धि यानी हर वर्ष एक निश्चित प्रतिशत।
Points to Remember
• AP adds d each time; GP multiplies by r each time. Test which one before reaching for a formula.
• aₙ = a + (n − 1)d · Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d] = n/2(a + l)
• Number of terms = (last − first) ÷ d + 1. The +1 is compulsory, never optional.
• GP: aₙ = a·r⁽ⁿ⁻¹⁾ · Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) · S∞ = a/(1 − r), only when −1 < r < 1.
• AM = (a + b)/2, GM = √(ab), and AM ≥ GM always.
• 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 · first n odd numbers = n².
⚠ Exam Tip 1: Before touching any formula, write a, then d or r, then n on separate lines. Most lost marks come from reading n wrong, not from the algebra.
⚠ Exam Tip 2: If the question gives you two terms, subtract them. a₉ − a₄ = 5d, so the common difference falls out in one line and you never need to find a at all.
याद रखने योग्य बिंदु
• AP में हर बार d जुड़ता है; GP में हर बार r से गुणा होता है। सूत्र उठाने से पहले जाँच लीजिए कि कौन-सी है।
• aₙ = a + (n − 1)d · Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d] = n/2(a + l)
• पदों की संख्या = (अंतिम − प्रथम) ÷ d + 1। यह +1 अनिवार्य है, वैकल्पिक नहीं।
• GP: aₙ = a·r⁽ⁿ⁻¹⁾ · Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) · S∞ = a/(1 − r), केवल तब जब −1 < r < 1 हो।
• AM = (a + b)/2, GM = √(ab), और AM सदैव GM से बड़ा या बराबर होता है।
• 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 · प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।
⚠ Exam Tip 1: कोई भी सूत्र छूने से पहले a, फिर d या r, फिर n — तीनों अलग-अलग पंक्तियों में लिख लीजिए। अंक अक्सर बीजगणित से नहीं, n ग़लत पढ़ने से कटते हैं।
सरलीकरण एवं सन्निकटन — वे गणना-शॉर्टकट जो आपको दस मिनट अतिरिक्त देते हैं
Speed Is a Syllabus Topic
A hundred questions in a hundred and twenty minutes is about seventy seconds each, and some of those seconds go on reading. Nobody misses selection because they did not know how to multiply. They miss it because they multiplied slowly, ran out of clock, and left eight questions blank that they could all have answered.
This is the one chapter where the marks are not in the mathematics. They are in the arithmetic habits underneath it: squares you recognise instead of computing, fractions you convert instead of dividing, and a multiplication you restructure instead of grinding.
Four habits carry almost all of it:
Each one is a few minutes to learn and saves seconds on every single question for the rest of your life as an aspirant.
गति भी पाठ्यक्रम का विषय है
एक सौ बीस मिनट में सौ प्रश्न यानी लगभग सत्तर सेकंड प्रति प्रश्न, और उनमें से कुछ सेकंड तो पढ़ने में ही चले जाते हैं। किसी का चयन इसलिए नहीं छूटता कि उसे गुणा करना नहीं आता था। छूटता इसलिए है कि उसने धीरे गुणा किया, घड़ी समाप्त हो गई, और आठ प्रश्न खाली रह गए जिनके उत्तर वह जानता था।
यही वह अध्याय है जहाँ अंक गणित में नहीं हैं। अंक उसके नीचे बैठी अंकगणितीय आदतों में हैं: वे वर्ग जो आप पहचान लेते हैं, निकालते नहीं; वे भिन्न जिन्हें आप बदल लेते हैं, भाग नहीं देते; और वह गुणा जिसे आप नए ढंग से रख लेते हैं, पीसते नहीं।
चार आदतें लगभग पूरा काम कर देती हैं:
इनमें से हर आदत सीखने में कुछ मिनट लेती है और प्रत्याशी जीवन के हर प्रश्न पर सेकंड बचाती है।
Squares Without Multiplying
Rule 1 — numbers ending in 5. Take the digits before the 5, multiply by the next whole number, and write 25 after it.
45² → 4 × 5 = 20, then 25 → 2025
65² → 6 × 7 = 42, then 25 → 4225
115² → 11 × 12 = 132, then 25 → 13225
Rule 2 — the identity method. For anything near a round number, use (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604
103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609
Rule 3 — difference of squares. Whenever two numbers sit equally above and below a round number, their product is a² − b².
96 × 104 = (100 − 4)(100 + 4) = 10000 − 16 = 9984
47 × 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 2500 − 9 = 2491
Rule 4 — the unit digit tells you the root. A perfect square ending in 4 has a root ending in 2 or 8; ending in 9, a root ending in 3 or 7; ending in 6, a root ending in 4 or 6. So √1764 must end in 2 or 8, and since 40² = 1600 it is 42.
बिना गुणा किए वर्ग
नियम 1 — 5 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ। 5 से पहले के अंक लीजिए, उन्हें अगली पूर्ण संख्या से गुणा कीजिए और आगे 25 लिख दीजिए।
Multiplication, Restructured
Times 11. For a two-digit number, split the digits and drop their sum in the middle.
43 × 11 → 4 _(4+3)_ 3 → 473
67 × 11 → 6 _(6+7 = 13)_ 7 → carry the 1 → 737
Times 5, 25, 50. Multiply by 10, 100 or 100 and then halve or quarter.
86 × 5 = 860 ÷ 2 = 430
84 × 25 = 8400 ÷ 4 = 2100
46 × 50 = 4600 ÷ 2 = 2300
Times 9, 99, 999. Multiply by the round number and subtract the original.
47 × 9 = 470 − 47 = 423
38 × 99 = 3800 − 38 = 3762
The base method for two numbers near 100. Write how far each is from 100. Cross-subtract for the left half, multiply the deficits for the right half.
97 × 96: deficits 3 and 4. Left = 97 − 4 = 93. Right = 3 × 4 = 12. Answer 9312.
Division by 5 is multiplication by 2 with the decimal moved: 435 ÷ 5 = 870 ÷ 10 = 87.
गुणा, नए ढंग से
11 से गुणा।
Fractions, Percentages and the Order of Operations
Learn this table once and stop dividing:
1/2 = 50% · 1/3 = 33.33% · 1/4 = 25% · 1/5 = 20% · 1/6 = 16.67% · 1/7 = 14.28% · 1/8 = 12.5% · 1/9 = 11.11% · 1/10 = 10% · 1/11 = 9.09% · 1/12 = 8.33% · 1/16 = 6.25% · 1/20 = 5% · 1/25 = 4%
It runs both ways. If a question says 37.5%, read it as 3/8 and the arithmetic collapses: 37.5% of 640 = 3/8 × 640 = 240.
Order of operations — VBODMAS. Vinculum (the bar), Brackets, Of, Division, Multiplication, Addition, Subtraction. Division and multiplication rank equally and are done left to right, and so do addition and subtraction.
12 + 8 ÷ 4 × 2 − 3
= 12 + 2 × 2 − 3
= 12 + 4 − 3 = 13
Read strictly left to right without BODMAS and you get 7 — which the paper will offer you.
Approximation. When the options are far apart, round and move on. 19.98% of 449.7 ≈ 20% of 450 = 90. Round the two numbers in opposite directions where you can, so the errors cancel instead of adding.
भिन्न, प्रतिशत और संक्रियाओं का क्रम
यह सारणी एक बार याद कर लीजिए और भाग देना बंद कर दीजिए:
1/2 = 50% · 1/3 = 33.33% · 1/4 = 25% · 1/5 = 20% · 1/6 = 16.67% · 1/7 = 14.28% · 1/8 = 12.5% · 1/9 = 11.11% · 1/10 = 10% · 1/11 = 9.09% · 1/12 = 8.33% · 1/16 = 6.25% · 1/20 = 5% · 1/25 = 4%
यह दोनों दिशाओं में चलती है। यदि प्रश्न में 37.5% हो तो उसे 3/8 पढ़िए और गणना ढह जाएगी: 640 का 37.5% = 3/8 × 640 =
What Exams Actually Ask
SSC CGL Tier-I and CHSL put a whole section on simplification and approximation, and it is deliberately winnable: the numbers are ugly but the options are wide, so the intended method is estimation, not exact computation. Students who solve these in full are the ones who run out of time in the trigonometry section later.
RRB NTPC and Group D favour the pure BODMAS string — the four-operator expression whose only trick is the order. Their standing trap is offering the left-to-right answer as an option.
BPSC TRE-4 elementary mathematics does not print a section called simplification, but every percentage, profit and interest question is made faster by the fraction table. 12.5% read as 1/8 is worth roughly thirty seconds a question across the whole paper.
Bank and insurance papers are the source of most approximation practice sets, and their style has spread everywhere.
CTET stays at the primary and upper-primary level, but asks the same order-of-operations idea in a classroom frame.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
एस.एस.सी. सी.जी.एल. टियर-I और सी.एच.एस.एल. में सरलीकरण एवं सन्निकटन का पूरा खंड होता है, और वह जानबूझकर जीतने योग्य रखा जाता है: संख्याएँ भद्दी होती हैं पर विकल्प चौड़े, अतः अभीष्ट विधि अनुमान है, सटीक गणना नहीं। जो छात्र इन्हें पूरा हल करते हैं वही आगे त्रिकोणमिति खंड में समय से हार जाते हैं।
आर.आर.बी. एन.टी.पी.सी. और ग्रुप डी को शुद्ध बोडमास वाली पंक्ति पसंद है — वह चार संक्रियाओं वाला व्यंजक जिसका एकमात्र जाल क्रम है। इनका स्थायी जाल है बाएँ से दाएँ वाला उत्तर विकल्प में रख देना।
बी.पी.एस.सी. टी.आर.ई.-4 प्रारंभिक गणित
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: Before calculating anything, look at how far apart the options are. If they differ by more than about 5%, round both numbers and estimate — the question was written to be estimated.
⚠ Exam Tip 2: In any BODMAS string, the plain left-to-right answer is always printed as a distractor. If your answer came out as fast as reading the line, you almost certainly ignored the order of operations.
याद रखने योग्य बिंदु
ट्रेन, नाव और धारा: सापेक्ष चाल का जोड़-या-घटाव नियम
Why One Idea Solves Three Chapters
Trains crossing poles, trains crossing each other, and boats moving with or against a river look like three separate chapters. They are one idea: relative speed. When two things move towards each other, the gap closes at the sum of their speeds. When they move the same way, the gap closes at the difference. A boat in a river is exactly this — the water is a second moving thing, and it either helps the boat or fights it.
Before any formula, fix the units. Distances in these questions are usually in metres (train lengths) while speeds are in km/h. The bridge between them is:
km/h → m/s: multiply by 5/18
m/s → km/h: multiply by 18/5
Example: 72 km/h = 72 × 5/18 = 20 m/s. Most wrong answers in this chapter are not wrong formulas; they are a speed in km/h divided into a distance in metres. Convert first, always, and the rest is one division.
एक ही विचार तीन अध्यायों को हल करता है
खंभे को पार करती ट्रेन, आमने-सामने से गुज़रती दो ट्रेनें और नदी में धारा के साथ या विरुद्ध चलती नाव — ये तीन अलग अध्याय लगते हैं, पर विचार एक ही है: सापेक्ष चाल। जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर चलती हैं तो दूरी उनकी चालों के योग से घटती है। जब वे एक ही दिशा में चलती हैं तो अंतर से घटती है। नदी में नाव भी यही है — पानी दूसरी गतिमान वस्तु है, जो नाव की मदद करता है या उसका विरोध।
किसी भी सूत्र से पहले इकाइयाँ ठीक कीजिए। ट्रेन की लंबाई प्रायः मीटर में होती है जबकि चाल km/h में। दोनों के बीच का पुल यह है:
km/h → m/s: 5/18 से गुणा
m/s → km/h: 18/5 से गुणा
उदाहरण: 72 km/h = 72 × 5/18 = 20 m/s। इस अध्याय में अधिकतर गलतियाँ सूत्र की नहीं होतीं; मीटर की दूरी को km/h की चाल से भाग देने की होती हैं। पहले इकाई बदलिए, फिर बस एक भाग बचता है।
Trains: Decide the Distance, Then Divide
A moving train is a long object, so the distance it must cover depends on what it is passing:
Time = distance ÷ speed, with speed in m/s.
Worked example: a 300 m train at 72 km/h (20 m/s) crosses a 500 m platform. Distance = 300 + 500 = 800 m. Time = 800 ÷ 20 = 40 s. Had the platform been replaced by a pole, the time would be 300 ÷ 20 = 15 s.
Reverse form: if a train of length L crosses a pole in t seconds, its speed is L/t; and if it crosses a platform in T seconds, then L + P = speed × T. Two such equations give both L and P.
ट्रेन: पहले दूरी तय कीजिए, फिर भाग दीजिए
चलती ट्रेन एक लंबी वस्तु है, इसलिए उसे कितनी दूरी तय करनी है यह इस पर निर्भर है कि वह किसे पार कर रही है:
Two Trains: Add for Opposite, Subtract for Same Direction
When two trains cross each other, treat one as standing still and give the other the relative speed.
Worked example: trains of 120 m and 130 m run at 40 km/h and 60 km/h.
Opposite: relative speed = 100 km/h = 100 × 5/18 = 250/9 m/s. Distance = 250 m. Time = 250 × 9/250 = 9 s.
Same direction: relative speed = 20 km/h = 50/9 m/s. Time = 250 × 9/50 = 45 s.
Same trains, same lengths — the direction alone changes the answer fivefold. That is why the direction words "towards", "opposite", "in the same direction" are the most important words in the question.
For overtaking a person or a pole walking the same way, the person's length is zero, so distance is just the train's length L.
दो ट्रेनें: विपरीत दिशा में जोड़, समान दिशा में घटाव
जब दो ट्रेनें एक-दूसरे को पार करती हैं तो एक को स्थिर मान लीजिए और दूसरी को सापेक्ष चाल दीजिए।
Boats and Streams: The River Is the Second Mover
Let the boat's speed in still water be u and the stream's speed be v.
Worked example: a boat goes 24 km downstream in 2 h and returns in 3 h. D = 24/2 = 12 km/h, U = 24/3 = 8 km/h. So u = (12 + 8)/2 = 10 km/h and v = (12 − 8)/2 = 2 km/h.
Round trip: a boat with u = 8 and v = 2 goes 30 km each way. Downstream speed 10 → 3 h; upstream speed 6 → 5 h; total 8 h. Notice that 60 km at the still-water speed 8 would give 7.5 h — a wrong but tempting shortcut, because the current helps less time than it hinders.
Average speed for equal distances at speeds a and b is never the plain mean; it is 2ab ÷ (a + b). At 40 and 60 km/h it is 48 km/h, not 50.
नाव और धारा: नदी दूसरी गतिमान वस्तु है
स्थिर पानी में नाव की चाल u और धारा की चाल v मानिए।
What Exams Actually Ask
SSC CGL/CHSL and Railway (RRB NTPC, Group D) ask two to three speed questions in almost every paper. The favourites are: train crossing a platform, two trains crossing in opposite directions, and boat upstream/downstream with a round-trip time. Railway papers lean on plain conversion questions such as 54 km/h to m/s.
BPSC TRE-4 tests this inside the elementary-mathematics part of General Studies, usually as a one-step or two-step word problem with clean numbers.
CTET treats the same content as classroom-framed maths: a teacher asks students to explain why speeds add for opposite motion, so the concept, not the formula alone, must be clear.
The recurring traps:
Each wrong option is the result of one specific skipped step. Spot which step is missing and the right option stands out.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL/CHSL और रेलवे (RRB NTPC, Group D) लगभग हर पेपर में चाल के दो-तीन प्रश्न पूछते हैं। पसंदीदा प्रश्न हैं: ट्रेन का प्लेटफ़ॉर्म पार करना, विपरीत दिशा में दो ट्रेनों का गुज़रना, और धारा के अनुकूल/प्रतिकूल नाव का आना-जाना। रेलवे पेपर 54 km/h को m/s में बदलने जैसे सीधे रूपांतरण प्रश्नों पर भी टिके होते हैं।
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: Before touching any number, write the distance the train must cover (L, L + P or L₁ + L₂) and convert the speed to m/s — these two lines remove most wrong options.
⚠ Exam Tip 2: When every option looks reasonable, test the tempting one: 50 for the average, 7.5 h for the round trip, or the unconverted value are usually the decoys.
याद रखने योग्य बातें
द्विघात समीकरण: मूल, विविक्तकर और योग-गुणनफल के शॉर्टकट
Why Quadratics Keep Appearing
A quadratic equation has the form ax² + bx + c = 0 with a ≠ 0. It shows up whenever a quantity gets multiplied by itself: the area of a rectangle whose sides are related, two consecutive numbers whose product is given, or a ball's height over time. That is why exam setters love it — one short equation hides a whole word problem.
The roots are the values of x that make the expression zero, and a quadratic can have at most two of them. You have three tools: factorisation, the quadratic formula, and the sum and product of roots. The third is the quiet winner, because many questions never ask for the roots at all, only for something built from them. Learn all three and choose the fastest one for each question instead of always solving the long way.
द्विघात समीकरण बार-बार क्यों आते हैं
द्विघात समीकरण का रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ a ≠ 0 है। यह तब आता है जब कोई राशि अपने-आप से गुणा होती है: ऐसे आयत का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ आपस में जुड़ी हों, दो क्रमागत संख्याओं का दिया गया गुणनफल, या समय के साथ गेंद की ऊँचाई। इसीलिए परीक्षक इसे पसंद करते हैं — एक छोटा-सा समीकरण पूरा शब्द-प्रश्न छिपा लेता है।
मूल (रूट) x के वे मान हैं जो व्यंजक को शून्य कर दें, और द्विघात के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं। आपके पास तीन औज़ार हैं: गुणनखंडन, द्विघात सूत्र, और मूलों का योग व गुणनफल। तीसरा चुपचाप सबसे काम का है, क्योंकि कई प्रश्न मूल पूछते ही नहीं, केवल मूलों से बनी कोई राशि पूछते हैं। तीनों सीखिए और हर प्रश्न में सबसे तेज़ तरीका चुनिए, हर बार लंबा हल मत कीजिए।
Two Ways to Find the Roots
Factorisation (split the middle term). Multiply a × c, then find two numbers with that product and with sum b. For x² − 5x + 6 = 0, a × c = 6 and the pair with sum −5 is −2 and −3. So (x − 2)(x − 3) = 0 and x = 2 or 3.
Quadratic formula. When factors are not obvious, use x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Take 2x² + 3x − 2 = 0: here a = 2, b = 3, c = −2, so b² − 4ac = 9 + 16 = 25. Then x = (−3 ± 5)/4, giving x = 1/2 or x = −2.
Always verify by substituting one root back. In the first example, 2² − 5·2 + 6 = 0. A five-second check catches almost every sign slip, and sign slips are the most common way marks are lost in this chapter.
मूल निकालने के दो तरीके
गुणनखंडन (मध्य पद को तोड़ना)। a × c निकालिए, फिर ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल वही हो और योग b हो। x² − 5x + 6 = 0 में a × c = 6 है और योग −5 वाली जोड़ी −2 और −3 है। इसलिए (x − 2)(x − 3) = 0 और x = 2 या 3।
द्विघात सूत्र। जब गुणनखंड स्पष्ट न हों, तो x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a लगाइए। 2x² + 3x − 2 = 0 लें: यहाँ a = 2, b = 3, c = −2, इसलिए b² − 4ac = 9 + 16 = 25। तब x = (−3 ± 5)/4, यानी x = 1/2 या x = −2।
हमेशा एक मूल को वापस रखकर जाँचिए। पहले उदाहरण में 2² − 5·2 + 6 = 0 आता है। पाँच सेकंड की यह जाँच लगभग हर चिह्न की भूल पकड़ लेती है, और इस अध्याय में अंक सबसे ज़्यादा चिह्न की भूल से ही कटते हैं।
The Discriminant Tells You the Nature of the Roots
The expression under the square root, D = b² − 4ac, is called the discriminant. It decides what kind of roots exist without solving anything.
Example 1. For 2x² − 4x + 3 = 0, D = 16 − 24 = −8, which is negative, so there are no real roots.
Example 2. For what value of k does x² − 6x + k = 0 have equal roots? Set D = 0: 36 − 4k = 0, so k = 9. Check: x² − 6x + 9 = (x − 3)², a repeated root at 3.
Exam questions turn this around: they give a condition on the roots and ask for an unknown coefficient. The recipe never changes — write D, apply the condition (D = 0, D > 0 or D < 0), and solve the small equation or inequality that results.
विविक्तकर बताता है मूलों की प्रकृति
वर्गमूल के नीचे का व्यंजक D = b² − 4ac विविक्तकर (डिस्क्रिमिनेंट) कहलाता है। यह बिना हल किए ही तय कर देता है कि मूल किस प्रकार के होंगे।
उदाहरण 1। 2x² − 4x + 3 = 0 के लिए D = 16 − 24 = −8 है, जो ऋणात्मक है, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं।
उदाहरण 2।
Sum and Product of Roots: Answer Without Solving
If α and β are the roots of ax² + bx + c = 0, then α + β = −b/a and αβ = c/a. Notice the division by a — that is where most errors begin.
Example. For 2x² − 5x + 1 = 0, the sum is 5/2 and the product is 1/2.
Almost every expression in exams reduces to these two values:
Using the example above, α² + β² = 25/4 − 1 = 21/4, found without ever computing a root.
Forming an equation from its roots: x² − (sum)x + (product) = 0. Roots 3 and −2 give sum 1, product −6, so the equation is x² − x − 6 = 0. This reverse direction is popular in SSC papers because it takes ten seconds if you know the form.
मूलों का योग और गुणनफल: बिना हल किए उत्तर
यदि α और β समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल हैं, तो α + β = −b/a और αβ = c/a। ध्यान दीजिए, a से भाग देना है — अधिकांश गलतियाँ यहीं से शुरू होती हैं।
उदाहरण। 2x² − 5x + 1 = 0 के लिए योग 5/2 और गुणनफल 1/2 है।
परीक्षा की लगभग हर राशि इन्हीं दो मानों में सिमट जाती है:
What Exams Actually Ask
SSC CGL, CHSL and MTS set one to three quadratic questions per paper: finding roots, the nature of roots through D, and expressions such as α² + β² or 1/α + 1/β. Speed matters, so the sum-and-product shortcut is worth more than the formula.
Railway (RRB NTPC, Group D) prefers word problems that collapse into a quadratic: the product of two consecutive numbers, a rectangle's sides given its area, or age problems.
BPSC TRE-4 places this under elementary mathematics and usually asks direct solving or the nature of roots.
CTET frames it as classroom reasoning: why substituting a value verifies a root, or why dividing both sides by x wrongly loses the root x = 0.
The recurring traps:
परीक्षा में वास्तव में क्या पूछा जाता है
SSC CGL, CHSL और MTS में प्रति पेपर एक से तीन द्विघात प्रश्न आते हैं: मूल निकालना, D से मूलों की प्रकृति, और α² + β² या 1/α + 1/β जैसी राशियाँ। यहाँ गति मायने रखती है, इसलिए सूत्र से ज़्यादा योग-गुणनफल का शॉर्टकट काम आता है।
रेलवे (RRB NTPC, ग्रुप D) ऐसे शब्द-प्रश्न पसंद करता है जो द्विघात में बदल जाएँ: दो क्रमागत संख्याओं का गुणनफल, क्षेत्रफल दिया हो तो आयत की भुजाएँ, या आयु के प्रश्न।
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: If the question asks for something built from the roots (sum, product, α² + β²), never solve the equation — write −b/a and c/a and finish in two lines.
⚠ Exam Tip 2: In "equal roots" or "real roots" questions, write D with the sign of c carried inside the bracket, for example 4·a·(−2), before multiplying.
याद रखने योग्य बिंदु
प्रतिस्थापन और बार-बार तनुकरण: (1 − x/n)^k सूत्र
Replace and Repeat: Why This Formula Is a Gift
A vessel holds 40 litres of pure milk. A shopkeeper removes 4 litres and pours in 4 litres of water. He then does it again. How much milk is left? Most students subtract 4 + 4 from 40 and answer 32 litres. That is wrong, because the second 4 litres he removes is already a mixture and carries some water out with it.
The correct idea is that each round keeps the same fraction of the original liquid. Removing 4 from 40 keeps 36/40 = 9/10. Two rounds keep (9/10)² = 81/100, so milk left = 40 × 0.81 = 32.4 litres, and water = 7.6 litres.
This single pattern powers a whole family of mixture questions in SSC, Railway and BPSC TRE-4 papers. Learn the fraction idea once and you never need to build tables again.
बदलो और दोहराओ: यह सूत्र वरदान क्यों है
एक बर्तन में 40 लीटर शुद्ध दूध है। दुकानदार 4 लीटर निकालकर उतना ही पानी डाल देता है। फिर वह यही क्रिया दोबारा करता है। अब कितना दूध बचा? अधिकतर विद्यार्थी 40 में से 4 + 4 घटाकर 32 लीटर उत्तर दे देते हैं। यह ग़लत है, क्योंकि दूसरी बार निकाला गया 4 लीटर पहले से मिश्रण है और अपने साथ कुछ पानी भी बाहर ले जाता है।
सही विचार यह है कि हर चरण में मूल द्रव का एक निश्चित भिन्न बचता है। 40 में से 4 निकालने पर 36/40 = 9/10 बचता है। दो चरणों में (9/10)² = 81/100 बचेगा, इसलिए बचा दूध = 40 × 0.81 = 32.4 लीटर और पानी = 7.6 लीटर।
यही एक पैटर्न SSC, रेलवे और BPSC TRE-4 के मिश्रण-संबंधी पूरे प्रश्न-परिवार को हल करता है। भिन्न का यह विचार एक बार समझ लें तो तालिकाएँ बनाने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
The Core Formula
Let the vessel hold n litres of pure liquid. Remove x litres and replace with the other liquid. Repeat this k times in total.
Pure liquid left = n × (1 − x/n)^k
The ratio of pure liquid left to the original is simply (1 − x/n)^k, and the ratio of pure liquid to the whole mixture is the same number, because the total volume always returns to n.
Worked example: 80 litres of pure milk, 8 litres removed and replaced by water, three times. Here x/n = 8/80 = 1/10, so the fraction kept each time is 9/10. Milk left = 80 × (9/10)³ = 80 × 729/1000 = 58.32 litres. Water = 80 − 58.32 = 21.68 litres.
Notice that 3 × 8 = 24 litres were removed in total, yet only 21.68 litres of water entered the final mixture. That gap is exactly what the naive subtraction misses.
मूल सूत्र
मान लें बर्तन में n लीटर शुद्ध द्रव है। उसमें से x लीटर निकालकर उतना ही दूसरा द्रव डाला जाता है। यह क्रिया कुल k बार दोहराई जाती है।
बचा शुद्ध द्रव = n × (1 − x/n)^k
बचे शुद्ध द्रव और मूल द्रव का अनुपात (1 − x/n)^k होता है, और शुद्ध द्रव तथा पूरे मिश्रण का अनुपात भी यही संख्या है, क्योंकि कुल आयतन हमेशा n ही रहता है।
उदाहरण: 80 लीटर शुद्ध दूध, 8 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया, तीन बार। यहाँ x/n = 8/80 = 1/10, अतः हर बार 9/10 बचता है। बचा दूध = 80 × (9/10)³ = 80 × 729/1000 = 58.32 लीटर। पानी = 80 − 58.32 = 21.68 लीटर।
ध्यान दें कि कुल 3 × 8 = 24 लीटर निकाला गया, फिर भी अंतिम मिश्रण में केवल 21.68 लीटर पानी पहुँचा। सीधे घटाने वाला तरीक़ा इसी अंतर को चूक जाता है।
When the Vessel Starts as a Mixture
Sometimes the vessel already holds two liquids, say milk and water in the ratio 2 : 1, and y litres of the mixture are drawn off. The removed y litres carry both liquids in that same ratio, so the amount of milk removed is y × 2/3, not y.
Worked example: 60 litres of milk and water in the ratio 2 : 1 means 40 litres milk and 20 litres water. Remove 12 litres of the mixture and replace it with water. Milk removed = 12 × 2/3 = 8 litres, so milk left = 40 − 8 = 32 litres. Water = 60 − 32 = 28 litres. The new ratio is 32 : 28 = 8 : 7.
The method is always the same: find what share of each liquid leaves with the removed portion, subtract it, then add whatever is poured in. Do this step by step and keep the total fixed at the vessel's capacity.
जब बर्तन में पहले से मिश्रण हो
कभी-कभी बर्तन में पहले से दो द्रव होते हैं, मान लें दूध और पानी 2 : 1 के अनुपात में, और उसमें से y लीटर मिश्रण निकाला जाता है। निकाले गए y लीटर में दोनों द्रव उसी अनुपात में होते हैं, इसलिए निकाला गया दूध y × 2/3 होगा, पूरा y नहीं।
उदाहरण: 60 लीटर में दूध और पानी 2 : 1 के अनुपात में हैं, यानी 40 लीटर दूध और 20 लीटर पानी। 12 लीटर मिश्रण निकालकर उतना पानी डाला गया। निकला दूध = 12 × 2/3 = 8 लीटर, अतः बचा दूध = 40 − 8 = 32 लीटर। पानी = 60 − 32 = 28 लीटर। नया अनुपात 32 : 28 = 8 : 7 है।
विधि हमेशा वही है: देखें कि निकाले गए भाग के साथ हर द्रव का कितना हिस्सा गया, उसे घटाएँ, फिर जो डाला गया उसे जोड़ें। यह चरण-दर-चरण करें और कुल मात्रा को बर्तन की क्षमता के बराबर स्थिर रखें।
Working Backwards and the Dishonest Dealer
Exams often give the final amount and ask for x. Use the formula in reverse. A vessel has 64 litres of pure milk. A certain quantity x is removed and replaced with water, and this is done twice, leaving 36 litres of milk. Then 36/64 = (1 − x/64)², so 9/16 = (1 − x/64)². Taking the square root, 3/4 = 1 − x/64, giving x = 16 litres.
The second favourite is the dishonest dealer. He buys milk at cost c per litre, adds water, and sells the mixture at the same c per litre. If M litres of milk become M + W litres of mixture, his gain is W/M, so gain % = (water ÷ milk) × 100. A 20% gain means water : milk = 1 : 5, so every litre of mixture contains 1/6 litre of water.
Both tricks reduce to fractions, so keep every quantity as a fraction until the last line.
उल्टा चलना और बेईमान दुकानदार
परीक्षा में अक्सर अंतिम मात्रा दी जाती है और x पूछा जाता है। सूत्र को उलटा लगाएँ। एक बर्तन में 64 लीटर शुद्ध दूध है। कोई मात्रा x निकालकर पानी मिलाया जाता है और यह दो बार किया जाता है, जिसके बाद 36 लीटर दूध बचता है। तब 36/64 = (1 − x/64)², यानी 9/16 = (1 − x/64)²। वर्गमूल लेने पर 3/4 = 1 − x/64, अतः x = 16 लीटर।
दूसरा पसंदीदा प्रश्न बेईमान दुकानदार का है। वह दूध c रुपये प्रति लीटर की दर से ख़रीदता है, पानी मिलाता है और मिश्रण उसी c रुपये प्रति लीटर पर बेच देता है। यदि M लीटर दूध से M + W लीटर मिश्रण बना, तो उसका लाभ W/M है, अतः लाभ % = (पानी ÷ दूध) × 100। 20% लाभ का अर्थ है पानी : दूध = 1 : 5, इसलिए मिश्रण के हर लीटर में 1/6 लीटर पानी है।
दोनों तरकीबें भिन्नों पर टिकी हैं, इसलिए अंतिम पंक्ति तक हर मात्रा को भिन्न में ही रखें।
What Exams Actually Ask
SSC CGL, CHSL and MTS love the direct form: a given quantity, a given removal, two or three repetitions, and the question asks for milk, water or their ratio. Railway NTPC and Group D keep to two repetitions with friendly numbers such as 40, 4 and 10. BPSC TRE-4 elementary mathematics mixes the formula with percentages and ratios, and sometimes asks for the removed amount x. CTET items are classroom-framed: a learner subtracts 4 + 4 from 40 and the teacher must identify the misconception and give the correct method.
The recurring traps: subtracting x × k instead of using the power; forgetting that the total returns to n every round; using x/n when the question gives the fraction left; taking milk removed as y rather than y × (share of milk) when the vessel is already a mixture; and confusing a dealer's gain on cost with gain on selling price.
Write the fraction kept per round first. Every other step follows from it.
परीक्षा में वास्तव में क्या पूछा जाता है
SSC CGL, CHSL और MTS सीधा रूप पसंद करते हैं: दी हुई मात्रा, दी हुई निकासी, दो या तीन दोहराव, और पूछा जाता है दूध, पानी या उनका अनुपात। रेलवे NTPC और ग्रुप D में दो दोहराव और 40, 4, 10 जैसी सरल संख्याएँ आती हैं। BPSC TRE-4 प्रारंभिक गणित में सूत्र के साथ प्रतिशत और अनुपात मिलाए जाते हैं, और कभी-कभी निकाली गई मात्रा x पूछी जाती है। CTET में कक्षा-आधारित प्रश्न आते हैं: कोई विद्यार्थी 40 में से 4 + 4 घटा देता है और शिक्षक को भ्रांति पहचानकर सही विधि बतानी होती है।
बार-बार होने वाले जाल: घात की जगह x × k घटाना; यह भूल जाना कि हर चरण में कुल मात्रा फिर n हो जाती है; भिन्न बचा होने पर भी x/n का प्रयोग करना; बर्तन में पहले से मिश्रण होने पर निकला दूध y मान लेना, y × (दूध का हिस्सा) की जगह; और दुकानदार के लाभ को क्रय मूल्य तथा विक्रय मूल्य पर गड़बड़ा देना।
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: When the answer options include the naive result n − xk, it is almost certainly the trap; check by asking whether the later removals could really have been pure.
⚠ Exam Tip 2: Convert x/n to a simple fraction such as 9/10 or 7/8 first; powers of small fractions are quick to compute and the denominators give a sanity check on the options.
याद रखने योग्य बातें
साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज: SI–CI अंतर, अर्धवार्षिक संयोजन और दोगुना होने के शॉर्टकट
Interest: Why Two Formulas Cover Dozens of Questions
Interest is the price of borrowing money. Simple Interest (SI) is charged only on the original sum, called the principal, so it grows by the same amount every year. Compound Interest (CI) is charged on the principal plus the interest already earned, so it grows faster each year.
For example, ₹1000 at 10% per annum: SI gives ₹100 every year, so ₹1300 after 3 years. CI gives ₹100, then ₹110, then ₹121, so ₹1331 after 3 years. The extra ₹31 is interest earned on interest.
Every SI and CI question in SSC, Railway and TRE-4 papers is built from just two ideas: SI = P×R×T/100, and Amount A = P(1 + R/100)^n for CI. Learn these two cleanly, plus the shortcut for the SI–CI difference, and most questions finish in under 30 seconds.
ब्याज: दो सूत्र, दर्जनों प्रश्न
ब्याज उधार लिए गए धन की कीमत है। साधारण ब्याज (SI) केवल मूलधन पर लगता है, इसलिए हर साल उतनी ही राशि बढ़ती है। चक्रवृद्धि ब्याज (CI) मूलधन के साथ अब तक जुड़े ब्याज पर भी लगता है, इसलिए हर साल पहले से तेज़ बढ़ता है।
उदाहरण: ₹1000 पर 10% वार्षिक दर। SI में हर साल ₹100 जुड़ते हैं, यानी 3 साल बाद ₹1300। CI में पहले ₹100, फिर ₹110, फिर ₹121 जुड़ते हैं, यानी 3 साल बाद ₹1331। अतिरिक्त ₹31 ब्याज पर मिला ब्याज है।
SSC, रेलवे और TRE-4 के हर SI-CI प्रश्न के पीछे सिर्फ़ दो विचार हैं: SI = P×R×T/100 और CI के लिए मिश्रधन A = P(1 + R/100)^n। इन्हें साफ़ सीख लें और SI–CI अंतर का शॉर्टकट जोड़ लें, तो ज़्यादातर प्रश्न 30 सेकंड में हल हो जाते हैं।
Simple Interest: P × R × T ÷ 100
SI = P × R × T / 100, where P is principal, R is the yearly rate in percent and T is time in years. The amount is A = P + SI. Always convert time into years first: 9 months is 3/4 year, 15 months is 5/4 year.
Example: ₹8000 at 5% for 3 years gives SI = 8000 × 5 × 3 / 100 = ₹1200, so A = ₹9200.
Rearranged, the same formula finds anything missing: R = SI × 100 / (P × T), T = SI × 100 / (P × R), P = SI × 100 / (R × T).
Doubling shortcut: if a sum doubles, the interest equals P, so R × T = 100. At 8% a sum doubles in 12.5 years. If it triples, interest is 2P, so R × T = 200. Under SI the interest per year never changes, so double the doubling time to get the tripling time.
साधारण ब्याज: P × R × T ÷ 100
SI = P × R × T / 100, जहाँ P मूलधन है, R प्रतिशत में वार्षिक दर है और T वर्षों में समय है। मिश्रधन A = P + SI होता है। समय को पहले हमेशा वर्षों में बदलें: 9 महीने यानी 3/4 वर्ष, 15 महीने यानी 5/4 वर्ष।
उदाहरण: ₹8000 पर 5% की दर से 3 वर्ष का SI = 8000 × 5 × 3 / 100 = ₹1200, इसलिए A = ₹9200।
इसी सूत्र को पलटकर कोई भी छूटी राशि निकलती है: R = SI × 100 / (P × T), T = SI × 100 / (P × R), P = SI × 100 / (R × T)।
दोगुना होने का शॉर्टकट: यदि राशि दोगुनी हो जाए तो ब्याज P के बराबर होता है, अतः R × T = 100। 8% पर राशि 12.5 वर्ष में दोगुनी होती है। तीन गुनी होने पर ब्याज 2P होता है, अतः R × T = 200। SI में हर साल का ब्याज स्थिर रहता है, इसलिए दोगुना होने के समय का दोगुना तीन गुना होने का समय है।
Compound Interest: The Growth Factor
When interest is added to the principal every year, the amount after n years is A = P(1 + R/100)^n, and CI = A − P. Do not compute year by year unless n is 2 or 3; the factor does it in one step.
Example: ₹5000 at 10% for 2 years. A = 5000 × (1.1)² = 5000 × 1.21 = ₹6050, so CI = ₹1050.
When interest is compounded more often than yearly, change both numbers. Half-yearly: rate becomes R/2 and periods become 2n. Quarterly: rate R/4 and periods 4n.
Example: ₹8000 at 20% for 1 year, compounded half-yearly. Rate per period is 10% for 2 periods, so A = 8000 × 1.21 = ₹9680 and CI = ₹1680. Compounded yearly it would have been only ₹1600. If the rate differs from year to year, multiply the separate factors one after another.
चक्रवृद्धि ब्याज: वृद्धि गुणक
जब ब्याज हर साल मूलधन में जुड़ता जाता है, तो n वर्ष बाद मिश्रधन A = P(1 + R/100)^n होता है और CI = A − P। n यदि 2 या 3 न हो तो साल-दर-साल हिसाब न लगाएँ; गुणक एक ही चरण में काम कर देता है।
उदाहरण: ₹5000 पर 10% की दर से 2 वर्ष। A = 5000 × (1.1)² = 5000 × 1.21 = ₹6050, इसलिए CI = ₹1050।
जब ब्याज साल में एक से अधिक बार जोड़ा जाए, तो दोनों संख्याएँ बदलें। अर्धवार्षिक: दर R/2 और अवधि 2n। त्रैमासिक: दर R/4 और अवधि 4n।
उदाहरण: ₹8000 पर 20% की दर से 1 वर्ष, अर्धवार्षिक संयोजन। प्रति अवधि दर 10% और 2 अवधियाँ, इसलिए A = 8000 × 1.21 = ₹9680 और CI = ₹1680। वार्षिक संयोजन में यह केवल ₹1600 होता। अलग-अलग वर्षों की दरें अलग हों तो अलग-अलग गुणकों को एक के बाद एक गुणा करें।
Shortcuts: SI–CI Difference and Effective Rate
For 2 years, CI − SI = P × (R/100)². The first year's interest is the same in both; the whole difference is interest on the first year's interest. For 3 years, CI − SI = P × (R/100)² × (3 + R/100).
Example: P = ₹4000, R = 5%, 2 years. Difference = 4000 × (1/20)² = 4000 / 400 = ₹10. Reverse use is a favourite: if the difference is ₹50 at 10% for 2 years, P = 50 / 0.01 = ₹5000.
Effective rate for CI over 2 years = 2R + R²/100. At 10% that is 20 + 1 = 21%. Over 3 years at 10% it is 33.1%.
Fraction method: 10% is 1/10, so each year the amount grows in the ratio 11 : 10. After 2 years the ratio is 121 : 100. At 20% (1/5) the ratio per year is 6 : 5, so after 3 years it is 216 : 125.
शॉर्टकट: SI–CI अंतर और प्रभावी दर
2 वर्ष के लिए CI − SI = P × (R/100)²। पहले वर्ष का ब्याज दोनों में समान होता है; पूरा अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर लगे ब्याज का है। 3 वर्ष के लिए CI − SI = P × (R/100)² × (3 + R/100)।
उदाहरण: P = ₹4000, R = 5%, 2 वर्ष। अंतर = 4000 × (1/20)² = 4000 / 400 = ₹10। उलटा प्रयोग परीक्षा में पसंदीदा है: यदि 10% पर 2 वर्ष का अंतर ₹50 हो, तो P = 50 / 0.01 = ₹5000।
2 वर्ष में CI की प्रभावी दर = 2R + R²/100। 10% पर यह 20 + 1 = 21% है। 10% पर 3 वर्ष में यह 33.1% है।
भिन्न विधि: 10% यानी 1/10, तो हर साल राशि 11 : 10 के अनुपात में बढ़ती है। 2 वर्ष बाद अनुपात 121 : 100 होता है। 20% (1/5) पर प्रति वर्ष अनुपात 6 : 5 है, इसलिए 3 वर्ष बाद 216 : 125।
What Exams Actually Ask
SSC CGL and CHSL love the SI–CI difference: they give the difference for 2 years and ask for the principal or the rate. They also ask 'a sum doubles in x years at SI; when does it become triple?' and 'at what rate does a sum double in 5 years?' (answer 20%).
Railway RRB NTPC and Group D papers use direct SI with time given in months, or CI for 2 years on a round principal, so the factors 1.21 and 1.44 appear again and again.
BPSC TRE-4 and CTET Paper 2 maths keep to the basics, and CTET often frames the question around a school fund, a teacher's loan or a savings scheme.
Traps: (1) giving the Amount when the question asks for CI; (2) forgetting to halve the rate and double the periods for half-yearly compounding; (3) using the 2-year difference formula for 3 years; (4) leaving 9 months as 9.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL और CHSL को SI–CI अंतर बहुत प्रिय है: 2 वर्ष का अंतर देकर मूलधन या दर पूछी जाती है। वे यह भी पूछते हैं कि 'SI पर कोई राशि x वर्ष में दोगुनी हो तो तीन गुनी कब होगी?' और 'कितनी दर पर राशि 5 वर्ष में दोगुनी होगी?' (उत्तर 20%)।
रेलवे RRB NTPC और ग्रुप D में महीनों में दिए समय वाला सीधा SI, या गोल मूलधन पर 2 वर्ष का CI आता है, इसलिए गुणक 1.21 और 1.44 बार-बार दिखते हैं।
BPSC TRE-4 और CTET पेपर 2 का गणित बुनियादी स्तर पर रहता है, और CTET में प्रश्न अक्सर विद्यालय कोष, शिक्षक के ऋण या बचत योजना के रूप में गढ़ा जाता है।
जाल: (1) CI पूछा हो और मिश्रधन लिख देना; (2) अर्धवार्षिक संयोजन में दर आधी और अवधि दोगुनी करना भूल जाना; (3) 3 वर्ष के लिए 2 वर्ष वाला अंतर सूत्र लगा देना; (4) 9 महीने को 9 ही रहने देना।
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: Check the last words of the question: 'interest' means subtract P from the amount, 'amount' means do not.
⚠ Exam Tip 2: When the principal is a round number and a difference is given, use the difference formula first; it avoids all the long multiplication.
याद रखने योग्य बिंदु
⚠ परीक्षा सुझाव 1: प्रश्न के अंतिम शब्द देखें: 'ब्याज' का अर्थ मिश्रधन में से P घटाना है, 'मिश्रधन' का अर्थ नहीं घटाना।
दौड़ और वृत्ताकार ट्रैक: हेड स्टार्ट, मिलन-बिंदु और चक्कर के सूत्र
Why Race Questions Look Harder Than They Are
Race and track questions come wrapped in stories: A beats B by 10 metres, C gives D a head start, two athletes run around a stadium. Underneath, every one of them is the speed-time-distance formula applied to two people at once.
Two habits solve almost everything. First, in a race, both runners run for the same time, so the distances they cover in that time are in the same ratio as their speeds. Second, on a circular track, the question is always about how much one runner gains on the other, and the gain needed is exactly one full lap (or the track length once, for opposite directions).
This short builds both habits with the formulas and worked examples that Railway, SSC and TRE-4 mental-maths sections reuse year after year.
दौड़ के प्रश्न जितने कठिन दिखते हैं, उतने हैं नहीं
दौड़ और ट्रैक के प्रश्न कहानी में लिपटे होते हैं: A ने B को 10 मीटर से हराया, C ने D को हेड स्टार्ट दी, दो धावक स्टेडियम का चक्कर लगा रहे हैं। भीतर से हर प्रश्न चाल-समय-दूरी का वही सूत्र है, बस दो व्यक्तियों पर एक साथ लगा हुआ।
दो आदतें लगभग सब कुछ हल कर देती हैं। पहली, दौड़ में दोनों धावक बराबर समय दौड़ते हैं, इसलिए उस समय में तय दूरियों का अनुपात उनकी चालों के अनुपात के बराबर होता है। दूसरी, वृत्ताकार ट्रैक पर प्रश्न हमेशा इस बारे में होता है कि एक धावक दूसरे पर कितनी बढ़त बनाता है, और ज़रूरी बढ़त ठीक एक पूरा चक्कर होती है (विपरीत दिशा में ट्रैक की एक लंबाई)।
यह शॉर्ट इन दोनों आदतों को सूत्रों और हल किए उदाहरणों के साथ बनाता है, जिन्हें रेलवे, SSC और TRE-4 के गणित खंड हर साल दोहराते हैं।
Race Rule: Same Time, So Distance Ratio = Speed Ratio
When the question says A beats B by 10 m in a 100 m race, it means: when A has run 100 m, B has run only 90 m. They ran for the same time, so the speed ratio A : B = 100 : 90 = 10 : 9.
Worked example: in a 200 m race A beats B by 20 m, so A : B = 200 : 180 = 10 : 9. In a 100 m race B beats C by 10 m, so B : C = 100 : 90 = 10 : 9. Chain the ratios: A : B : C = 100 : 90 : 81, so A : C = 100 : 81. When A runs 100 m, C runs only 81 m, so A beats C by 19 m in 100 m.
Note the order: write the ratio of each pair with the common runner in matching positions before you multiply. Never add the margins (10 + 10 = 20) because the second margin is measured against a different base.
दौड़ का नियम: समय समान, इसलिए दूरी का अनुपात = चाल का अनुपात
जब प्रश्न कहता है कि A ने 100 मीटर की दौड़ में B को 10 मीटर से हराया, तो अर्थ है: जब A 100 मीटर दौड़ चुका, B केवल 90 मीटर दौड़ा था। दोनों ने समान समय दौड़ा, इसलिए चाल का अनुपात A : B = 100 : 90 = 10 : 9।
हल उदाहरण: 200 मीटर की दौड़ में A ने B को 20 मीटर से हराया, तो A : B = 200 : 180 = 10 : 9। 100 मीटर की दौड़ में B ने C को 10 मीटर से हराया, तो B : C = 100 : 90 = 10 : 9। अनुपात जोड़ें: A : B : C = 100 : 90 : 81, इसलिए A : C = 100 : 81। जब A 100 मीटर दौड़ता है, C केवल 81 मीटर दौड़ता है, अतः A, C को 100 मीटर में 19 मीटर से हराता है।
क्रम का ध्यान रखें: गुणा करने से पहले उभयनिष्ठ धावक को मेल खाती स्थिति में रखें। दोनों अंतर (10 + 10 = 20) कभी न जोड़ें, क्योंकि दूसरा अंतर किसी और आधार पर मापा गया है।
Head Start, Time Margin and Dead Heat
A head start of d metres means the slower runner starts d metres ahead, so he runs only (total − d) metres while the faster runner runs the full distance. A dead heat means both finish together, so the head start equals exactly the distance the faster runner gains.
A margin can be given in time instead of distance. If A beats B by 10 seconds in a 1 km race and A takes 90 seconds, then B takes 100 seconds, so B's speed is 1000 ÷ 100 = 10 m/s. In A's 90 seconds B runs 10 × 90 = 900 m, so the same race is also a 100 m win.
Conversion rule: distance margin = speed of the slower runner × time margin. Check which runner's speed you are using: it is always the loser's, because the loser is the one still running when the winner stops the clock.
हेड स्टार्ट, समय का अंतर और डेड हीट
d मीटर की हेड स्टार्ट का अर्थ है कि धीमा धावक d मीटर आगे से शुरू करता है, इसलिए वह केवल (कुल − d) मीटर दौड़ता है जबकि तेज़ धावक पूरी दूरी दौड़ता है। डेड हीट का अर्थ है दोनों साथ पहुँचते हैं, यानी हेड स्टार्ट ठीक उतनी है जितनी दूरी तेज़ धावक बढ़त बनाता है।
अंतर दूरी की जगह समय में भी दिया जा सकता है। यदि A, 1 किमी की दौड़ में B को 10 सेकंड से हराता है और A को 90 सेकंड लगते हैं, तो B को 100 सेकंड लगते हैं, इसलिए B की चाल 1000 ÷ 100 = 10 मी/से है। A के 90 सेकंड में B 10 × 90 = 900 मीटर दौड़ता है, अतः वही दौड़ 100 मीटर की जीत भी है।
रूपांतरण नियम: दूरी का अंतर = धीमे धावक की चाल × समय का अंतर। ध्यान रहे कि चाल हारने वाले की ही लेनी है, क्योंकि जब विजेता घड़ी रोकता है तब हारने वाला दौड़ ही रहा होता है।
Circular Track: Meeting Time Formulas
Let the track length be L and the speeds be a and b (a > b). Two runners starting from the same point meet for the first time after:
• Opposite directions: t = L ÷ (a + b), because together they cover one full track.
• Same direction: t = L ÷ (a − b), because the faster runner must gain one full lap.
Worked example: L = 400 m, speeds 5 m/s and 3 m/s. Opposite: 400 ÷ 8 = 50 s. Same direction: 400 ÷ 2 = 200 s.
To count meetings in a given time T, divide T by the first meeting time and take the whole-number part. In 200 s, two runners going opposite ways on the same track meet 200 ÷ 50 = 4 times.
Units matter: if speed is in km/h and the track in metres, convert one of them first. Multiply km/h by 5/18 to get m/s.
वृत्ताकार ट्रैक: मिलन-समय के सूत्र
मान लें ट्रैक की लंबाई L है और चालें a तथा b हैं (a > b)। एक ही बिंदु से चलने वाले दो धावक पहली बार मिलते हैं:
• विपरीत दिशा में: t = L ÷ (a + b), क्योंकि दोनों मिलकर एक पूरा ट्रैक तय करते हैं।
• समान दिशा में: t = L ÷ (a − b), क्योंकि तेज़ धावक को एक पूरा चक्कर आगे निकलना है।
हल उदाहरण: L = 400 मीटर, चालें 5 मी/से और 3 मी/से। विपरीत दिशा: 400 ÷ 8 = 50 से। समान दिशा: 400 ÷ 2 = 200 से।
किसी दिए समय T में मिलनों की संख्या के लिए T को पहले मिलन-समय से भाग दें और पूर्ण संख्या वाला भाग लें। 200 सेकंड में उसी ट्रैक पर विपरीत दिशा में दौड़ते दो धावक 200 ÷ 50 = 4 बार मिलते हैं।
इकाइयाँ महत्वपूर्ण हैं: चाल किमी/घंटा में और ट्रैक मीटर में हो तो पहले एक को बदलें। किमी/घंटा को 5/18 से गुणा करने पर मी/से मिलता है।
Meeting at the Starting Point, and What Exams Actually Ask
Two runners are both back at the start together only when each has completed a whole number of laps. If A takes 24 s per lap and B takes 36 s, they are together at the start after the LCM of 24 and 36, which is 72 s. This is different from the first meeting anywhere on the track, so read the question for 'at the starting point'.
What exams ask: SSC CGL and CHSL repeat the chained-ratio race (A beats B, B beats C, find A over C) and the circular-track first-meeting question. Railway RRB NTPC and Group D favour the time-to-distance margin conversion and 'how many times do they meet'. TRE-4 and CTET maths sections use the simple 100 m head-start and lap-time LCM forms.
Trap patterns: adding margins instead of chaining ratios, using a − b for opposite directions, and finding the first meeting when the question wants the meeting at the start.
प्रारंभ बिंदु पर मिलन और परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
दो धावक एक साथ प्रारंभ बिंदु पर तभी लौटते हैं जब दोनों पूर्ण चक्करों की संख्या पूरी कर लें। यदि A को प्रति चक्कर 24 से और B को 36 से लगते हैं, तो वे 24 और 36 के ल.स. यानी 72 से बाद प्रारंभ बिंदु पर साथ होंगे। यह ट्रैक पर कहीं भी पहले मिलन से अलग है, इसलिए प्रश्न में 'प्रारंभ बिंदु पर' शब्द पढ़ें।
परीक्षाएँ क्या पूछती हैं: SSC CGL और CHSL शृंखला-अनुपात वाली दौड़ (A ने B को, B ने C को हराया, A बनाम C) और वृत्ताकार ट्रैक का पहला मिलन दोहराते हैं। रेलवे RRB NTPC और ग्रुप D समय से दूरी के अंतर का रूपांतरण और 'कितनी बार मिलेंगे' पसंद करते हैं। TRE-4 और CTET के गणित खंड सरल 100 मीटर हेड स्टार्ट और चक्कर-समय के ल.स. रूप लेते हैं।
जाल: अनुपात जोड़ने की जगह अंतर जोड़ना, विपरीत दिशा में a − b लगाना, और प्रारंभ बिंदु पर मिलन माँगे जाने पर पहला मिलन निकालना।
Points to Remember
⚠ Exam Tip 1: Before touching a formula, write 'A : B = ...' as a ratio of distances run in equal time; most race questions then finish in two lines.
⚠ Exam Tip 2: Underline 'opposite' or 'same' direction and 'first meeting' or 'at the start' in the question; each wrong choice in the options is usually the answer to a different reading of those words.
याद रखने योग्य बिंदु
रैखिक समीकरण युग्म: संगति की शर्तें, विलोपन विधि तथा अंक, भिन्न और आयु के प्रश्नों की रचना
Two Equations, Two Unknowns
A pair of linear equations in two variables looks like a1x + b1y = c1 and a2x + b2y = c2. Each equation is a straight line on a graph, and the solution is the point where the lines meet. That picture gives the whole theory: two lines can cross at one point, never meet because they are parallel, or lie exactly on top of each other. Almost every word problem about two unknown quantities, such as the digits of a number, the parts of a fraction, the ages of two people or the prices of two items, becomes such a pair. Exams reward two skills: reading the nature of the solution without solving, and building the pair correctly from a sentence. This card set gives you a ratio test for the first and fixed setups for the second, with worked examples.
दो समीकरण, दो अज्ञात
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म इस रूप में होता है: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2। प्रत्येक समीकरण ग्राफ़ पर एक सरल रेखा है, और हल वह बिंदु है जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं। यही चित्र पूरा सिद्धांत बता देता है: दो रेखाएँ एक बिंदु पर कट सकती हैं, समांतर होने के कारण कभी नहीं मिल सकतीं, या एक-दूसरे पर पूरी तरह बैठ सकती हैं। दो अज्ञात राशियों वाले लगभग सभी शाब्दिक प्रश्न, जैसे किसी संख्या के अंक, भिन्न के भाग, दो व्यक्तियों की आयु या दो वस्तुओं के दाम, इसी तरह के युग्म में बदल जाते हैं। परीक्षाएँ दो कौशलों को परखती हैं: हल किए बिना हल की प्रकृति पहचानना, और वाक्य से सही युग्म बनाना। इन कार्ड्स में पहले के लिए अनुपात-परीक्षण और दूसरे के लिए तय ढाँचे हल किए उदाहरणों सहित दिए गए हैं।
The Ratio Test for the Nature of Solutions
Compare the ratios a1/a2, b1/b2 and c1/c2. If a1/a2 is not equal to b1/b2, the lines cross, and there is exactly one solution; the pair is consistent. If a1/a2 = b1/b2 but both differ from c1/c2, the lines are parallel, so there is no solution; the pair is inconsistent. If all three ratios are equal, the lines coincide, so there are infinitely many solutions; the pair is consistent and dependent. Worked example 1: 2x + 3y = 7 and 4x + 6y = 14 give 2/4 = 3/6 = 7/14 = 1/2, so there are infinitely many solutions. Worked example 2: x + 2y = 3 and 2x + 4y = 7 give 1/2 = 2/4 but 3/7 is different, so there is no solution. To find an unknown k, equate the first two ratios and then check the third.
हल की प्रकृति का अनुपात-परीक्षण
अनुपात a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कीजिए। यदि a1/a2 और b1/b2 बराबर नहीं हैं, तो रेखाएँ कटती हैं और ठीक एक हल होता है; युग्म संगत कहलाता है। यदि a1/a2 = b1/b2 है पर दोनों c1/c2 से भिन्न हैं, तो रेखाएँ समांतर हैं, इसलिए कोई हल नहीं होता; युग्म असंगत है। यदि तीनों अनुपात बराबर हैं, तो रेखाएँ संपाती हैं, इसलिए अनंत हल होते हैं; युग्म संगत और आश्रित है। उदाहरण 1: 2x + 3y = 7 और 4x + 6y = 14 में 2/4 = 3/6 = 7/14 = 1/2 है, अतः अनंत हल हैं। उदाहरण 2: x + 2y = 3 और 2x + 4y = 7 में 1/2 = 2/4 है पर 3/7 भिन्न है, अतः कोई हल नहीं है। किसी अज्ञात k को ज्ञात करने के लिए पहले दो अनुपात बराबर रखिए और फिर तीसरा जाँचिए।
Solving Fast: Elimination and Cross-Multiplication
Elimination makes the coefficients of one variable equal, then adds or subtracts to remove it. For equations a1x + b1y = c1 and a2x + b2y = c2, the cross-multiplication result is x = (c1b2 - c2b1) / (a1b2 - a2b1) and y = (a1c2 - a2c1) / (a1b2 - a2b1). The common denominator is the number that must not be zero for a unique solution. Worked example: 2x + 3y = 13 and 5x - 2y = 4. Here a1 = 2, b1 = 3, c1 = 13, a2 = 5, b2 = -2, c2 = 4, so the denominator is 2(-2) - 5(3) = -19. Then x = (13(-2) - 4(3)) / -19 = -38 / -19 = 2, and y = (2(4) - 5(13)) / -19 = -57 / -19 = 3. Always substitute back: 2(2) + 3(3) = 13, and 5(2) - 2(3) = 4. Both hold.
तेज़ी से हल: विलोपन और वज्र-गुणन
विलोपन विधि में किसी एक चर के गुणांक बराबर किए जाते हैं, फिर जोड़ या घटाकर उसे हटा दिया जाता है। समीकरण a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2 के लिए वज्र-गुणन का परिणाम है x = (c1b2 - c2b1) / (a1b2 - a2b1) और y = (a1c2 - a2c1) / (a1b2 - a2b1)। साझा हर वह संख्या है जो अद्वितीय हल के लिए शून्य नहीं होनी चाहिए। उदाहरण: 2x + 3y = 13 और 5x - 2y = 4। यहाँ a1 = 2, b1 = 3, c1 = 13, a2 = 5, b2 = -2, c2 = 4, इसलिए हर 2(-2) - 5(3) = -19 है। तब x = (13(-2) - 4(3)) / -19 = -38 / -19 = 2, और y = (2(4) - 5(13)) / -19 = -57 / -19 = 3। हमेशा वापस रखकर जाँचिए: 2(2) + 3(3) = 13 और 5(2) - 2(3) = 4। दोनों सही हैं।
Word-Problem Setups: Digits, Fractions and Ages
Digits: for a two-digit number with tens digit x and units digit y, the number is 10x + y and the reversed number is 10y + x. Their difference is 9(x - y). Worked example: the digits add up to 9 and the number is 27 more than its reverse. Then 9(x - y) = 27 gives x - y = 3, and with x + y = 9 we get x = 6, y = 3, so the number is 63. Fractions: let the fraction be x/y and turn each condition into a cross-multiplied equation. If adding 1 to the numerator and subtracting 1 from the denominator gives 1, and adding 1 to the denominator gives 1/2, then y = x + 2 and 2x = y + 1, so x = 3, y = 5 and the fraction is 3/5. Ages: write present ages as two letters, and add the same number of years to both people in the later condition.
शाब्दिक प्रश्नों की रचना: अंक, भिन्न और आयु
अंक: दो अंकों की संख्या में दहाई का अंक x और इकाई का अंक y हो, तो संख्या 10x + y और उलटी संख्या 10y + x होती है। उनका अंतर 9(x - y) होता है। उदाहरण: अंकों का योग 9 है और संख्या अपने उलटे रूप से 27 अधिक है। तब 9(x - y) = 27 से x - y = 3 मिलता है, और x + y = 9 के साथ x = 6, y = 3 आता है, अतः संख्या 63 है। भिन्न: भिन्न को x/y मानिए और प्रत्येक शर्त को वज्र-गुणन करके समीकरण बनाइए। यदि अंश में 1 जोड़ने और हर में से 1 घटाने पर भिन्न 1 हो जाती है, और हर में 1 जोड़ने पर 1/2 हो जाती है, तो y = x + 2 तथा 2x = y + 1 मिलता है, अतः x = 3, y = 5 और भिन्न 3/5 है। आयु: वर्तमान आयु को दो अक्षरों से लिखिए, और बाद वाली शर्त में दोनों व्यक्तियों में बराबर वर्ष जोड़िए।
What Exams Actually Ask
SSC CGL and CHSL, Railway NTPC and Group D, and BPSC TRE-4 elementary maths all set this topic, usually as a two-line question that can be solved in under a minute. The traps follow a pattern. First, comparing only c1/c2 and forgetting the a and b ratios, so that parallel and coincident lines are confused. Second, in a k question, stopping after the first two ratios without checking the third, which decides between no solution and infinitely many. Third, writing the reversed number as 10x + y instead of 10y + x. Fourth, adding years to only one person's age. Fifth, a sign slip in cross-multiplication when b2 or c2 is negative. A CTET item is usually classroom-framed: a teacher draws two lines that coincide on the board and asks what that means for the number of solutions. Always verify the final pair by substitution.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
एसएससी सीजीएल और सीएचएसएल, रेलवे एनटीपीसी और ग्रुप डी, तथा बीपीएससी टीआरई-4 का प्रारंभिक गणित, सभी इस टॉपिक से प्रश्न पूछते हैं, प्रायः दो पंक्तियों का ऐसा प्रश्न जो एक मिनट से कम में हल हो सके। जाल एक पैटर्न में आते हैं। पहला, केवल c1/c2 की तुलना करना और a तथा b के अनुपात भूल जाना, जिससे समांतर और संपाती रेखाओं में भ्रम होता है। दूसरा, k वाले प्रश्न में पहले दो अनुपात के बाद रुक जाना और तीसरा न जाँचना, जबकि वही तय करता है कि कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। तीसरा, उलटी संख्या को 10y + x की जगह 10x + y लिख देना। चौथा, आयु के प्रश्न में केवल एक व्यक्ति की आयु में वर्ष जोड़ना। पाँचवाँ, जब b2 या c2 ऋणात्मक हो, तब वज्र-गुणन में चिह्न की चूक। सीटेट का प्रश्न प्रायः कक्षा के संदर्भ में आता है: शिक्षक बोर्ड पर दो संपाती रेखाएँ खींचकर पूछता है कि हलों की संख्या के बारे में इसका क्या अर्थ है। अंत में सदैव मान रखकर जाँच कीजिए।
Points to Remember
Unique solution: a1/a2 is not equal to b1/b2. No solution: a1/a2 = b1/b2, which is not equal to c1/c2. Infinitely many solutions: all three ratios equal. Cross-multiplication: x = (c1b2 - c2b1) / D and y = (a1c2 - a2c1) / D, where D = a1b2 - a2b1 and D must not be zero. Two-digit number: 10x + y; reversed: 10y + x; number minus reverse = 9(x - y); number plus reverse = 11(x + y). A fraction x/y turns each condition into a cross-multiplied equation. In age problems, the same number of years is added to both people. Check by substituting into both original equations.
⚠ Exam Tip 1: For a k question, equate the first two ratios to find k, then test the third ratio to decide between no solution and infinitely many.
⚠ Exam Tip 2: In an options question, substitute the answer choices into both equations instead of solving; it is often faster and catches sign slips.
याद रखने योग्य बिंदु
अद्वितीय हल: a1/a2 और b1/b2 बराबर नहीं। कोई हल नहीं: a1/a2 = b1/b2, जो c1/c2 के बराबर नहीं। अनंत हल: तीनों अनुपात बराबर। वज्र-गुणन: x = (c1b2 - c2b1) / D और y = (a1c2 - a2c1) / D, जहाँ D = a1b2 - a2b1 और D शून्य नहीं होना चाहिए। दो अंकों की संख्या: 10x + y; उलटी: 10y + x; संख्या - उलटी = 9(x - y); संख्या + उलटी = 11(x + y)। भिन्न x/y में प्रत्येक शर्त को वज्र-गुणन करके समीकरण बनाइए। आयु के प्रश्नों में दोनों व्यक्तियों में बराबर वर्ष जोड़े जाते हैं। मान रखकर दोनों मूल समीकरणों में जाँच कीजिए।
⚠ Exam Tip 1: k वाले प्रश्न में पहले दो अनुपात बराबर रखकर k निकालिए, फिर तीसरा अनुपात जाँचिए ताकि पता चले कि कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
⚠ Exam Tip 2: विकल्पों वाले प्रश्न में हल करने की जगह उत्तर-विकल्पों को दोनों समीकरणों में रखकर देखिए; यह अक्सर तेज़ होता है और चिह्न की चूक पकड़ लेता है।
ठोसों का क्षेत्रमिति: बेलन, शंकु और गोले को पिघलाना, ढालना और 'आयतन अपरिवर्तित' नियम
Melting and Recasting: One Rule, Many Shapes
Mensuration questions on solids look different every time: a sphere is melted into small balls, a cylinder is recast into cones, a metal ball is dropped into a tank of water. Yet almost all of them rest on one law: when a solid is melted, moulded or immersed, its volume is conserved. Material is neither created nor lost, only reshaped. So the working is always the same three steps: write the volume of the original solid, write the volume of the new solid, and equate the total volume before and after. The skill lies in knowing the formulas cold and in cancelling common factors such as π before multiplying. This short gives the volume and surface-area formulas for the cylinder, cone, sphere and hemisphere, then shows how the conservation rule solves melting, recasting and water-displacement questions in under a minute each.
पिघलाना और ढालना: एक नियम, अनेक आकार
ठोसों के क्षेत्रमिति के प्रश्न हर बार अलग दिखते हैं: एक गोले को पिघलाकर छोटी गेंदें बनाना, बेलन को ढालकर शंकु बनाना, या धातु की गेंद को पानी की टंकी में डालना। फिर भी लगभग सभी एक ही नियम पर टिके हैं: जब किसी ठोस को पिघलाया, ढाला या डुबोया जाता है, तो उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है। पदार्थ न बनता है, न घटता है, केवल आकार बदलता है। इसलिए हल हमेशा तीन चरणों में होता है: मूल ठोस का आयतन लिखें, नए ठोस का आयतन लिखें, और पहले तथा बाद का कुल आयतन बराबर रखें। कौशल इसमें है कि सूत्र कंठस्थ हों और गुणा से पहले π जैसे उभयनिष्ठ गुणनखंड कट जाएँ। इस शॉर्ट में बेलन, शंकु, गोले और अर्धगोले के आयतन व पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र हैं, और दिखाया गया है कि संरक्षण नियम पिघलाने, ढालने और पानी हटाने के प्रश्न एक मिनट से कम में कैसे हल करता है।
Cylinder and Cone: The Formulas
Cylinder (radius r, height h): volume = πr²h; curved surface area = 2πrh; total surface area = 2πr(r + h).
Cone: volume = ⅓πr²h; slant height l = √(r² + h²); curved surface area = πrl; total surface area = πr(r + l).
Worked example 1: a cylinder has r = 7 cm and h = 10 cm. Volume = (22/7) × 49 × 10 = 1540 cm³, and curved area = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm².
Worked example 2: a cone has r = 6 cm and h = 8 cm. Slant height = √(36 + 64) = 10 cm, so curved area = π × 6 × 10 = 60π cm², and volume = ⅓ × π × 36 × 8 = 96π cm³.
Key link: a cone and a cylinder with the same r and h have volumes in the ratio 1 : 3, so the cone is exactly one-third of the cylinder.
बेलन और शंकु: सूत्र
बेलन (त्रिज्या r, ऊँचाई h): आयतन = πr²h; वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh; कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)।
शंकु: आयतन = ⅓πr²h; तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²); वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl; कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(r + l)।
हल किया उदाहरण 1: एक बेलन की r = 7 सेमी और h = 10 सेमी है। आयतन = (22/7) × 49 × 10 = 1540 सेमी³, और वक्र क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 सेमी²।
हल किया उदाहरण 2: एक शंकु की r = 6 सेमी और h = 8 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई = √(36 + 64) = 10 सेमी, इसलिए वक्र क्षेत्रफल = π × 6 × 10 = 60π सेमी², और आयतन = ⅓ × π × 36 × 8 = 96π सेमी³।
मुख्य संबंध: समान r और h वाले शंकु और बेलन के आयतन का अनुपात 1 : 3 होता है, यानी शंकु ठीक बेलन का एक-तिहाई है।
Sphere and Hemisphere: The Formulas
Sphere (radius r): volume = 4/3 πr³; surface area = 4πr². Hemisphere: volume = 2/3 πr³; curved surface area = 2πr²; total surface area = 3πr², because the flat circular lid πr² is added to the curved part.
Worked example 1: a hemisphere has r = 7 cm. Curved area = 2 × (22/7) × 49 = 308 cm², and total area = 3 × (22/7) × 49 = 462 cm².
Worked example 2: if the radius of a sphere is doubled, volume becomes 2³ = 8 times, while surface area becomes 2² = 4 times. Volume scales with the cube of the radius and area with the square, so never mix the two powers.
A useful trio: for a cone, a hemisphere and a cylinder with the same radius r and the same height r, the volumes are in the ratio 1 : 2 : 3.
गोला और अर्धगोला: सूत्र
गोला (त्रिज्या r): आयतन = 4/3 πr³; पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²। अर्धगोला: आयतन = 2/3 πr³; वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²; कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr², क्योंकि वक्र भाग में समतल वृत्ताकार ढक्कन πr² जुड़ जाता है।
हल किया उदाहरण 1: एक अर्धगोले की r = 7 सेमी है। वक्र क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 49 = 308 सेमी², और कुल क्षेत्रफल = 3 × (22/7) × 49 = 462 सेमी²।
हल किया उदाहरण 2: यदि गोले की त्रिज्या दोगुनी कर दें, तो आयतन 2³ = 8 गुना हो जाता है, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल 2² = 4 गुना। आयतन त्रिज्या के घन के साथ और क्षेत्रफल उसके वर्ग के साथ बदलता है, इसलिए दोनों घातों को कभी मिलाएँ नहीं।
उपयोगी तिकड़ी: समान त्रिज्या r और समान ऊँचाई r वाले शंकु, अर्धगोले और बेलन के आयतन का अनुपात 1 : 2 : 3 होता है।
Melting and Recasting: The Conservation Method
Rule: number of small solids × volume of one small solid = volume of the big solid. Cancel π and the fractions first.
Example 1: a sphere of radius 6 cm is melted into small spheres of radius 1 cm. Number = (4/3 π × 6³) ÷ (4/3 π × 1³) = 216. Only the ratio of the cubes of the radii matters.
Example 2: a cylinder of radius 3 cm and height 12 cm is recast into cones of radius 3 cm and height 4 cm. Cylinder = π × 9 × 12 = 108π; one cone = ⅓ × π × 9 × 4 = 12π; number of cones = 108π ÷ 12π = 9.
Example 3: a metal sphere of radius 7 cm is dropped fully into a cylindrical vessel of radius 14 cm. Rise in water level = (4/3 × 343) ÷ 196 = 7/3 cm, because the displaced water has exactly the volume of the sphere.
पिघलाना और ढालना: संरक्षण विधि
नियम: छोटे ठोसों की संख्या × एक छोटे ठोस का आयतन = बड़े ठोस का आयतन। पहले π और भिन्नों को काट दें।
उदाहरण 1: 6 सेमी त्रिज्या के एक गोले को पिघलाकर 1 सेमी त्रिज्या के छोटे गोले बनाए गए। संख्या = (4/3 π × 6³) ÷ (4/3 π × 1³) = 216। केवल त्रिज्याओं के घनों का अनुपात मायने रखता है।
उदाहरण 2: 3 सेमी त्रिज्या और 12 सेमी ऊँचाई के बेलन को ढालकर 3 सेमी त्रिज्या और 4 सेमी ऊँचाई के शंकु बनाए गए। बेलन = π × 9 × 12 = 108π; एक शंकु = ⅓ × π × 9 × 4 = 12π; शंकुओं की संख्या = 108π ÷ 12π = 9।
उदाहरण 3: 7 सेमी त्रिज्या की धातु की गोली को 14 सेमी त्रिज्या के बेलनाकार बर्तन में पूरी डुबोया गया। जल-स्तर में वृद्धि = (4/3 × 343) ÷ 196 = 7/3 सेमी, क्योंकि हटा हुआ पानी ठीक गोले के आयतन के बराबर होता है।
What Exams Actually Ask
SSC CGL, CHSL and MTS quantitative papers and Railway NTPC and Group D papers regularly set melting-and-recasting items, usually with a sphere, cylinder or cone where π cancels cleanly. Teacher-recruitment tests such as BPSC TRE-4 include mensuration in their Elementary Mathematics section, and CTET-style items often frame the same solids around a classroom model or a water tank. These questions are AI-written for practice, not copied from any past paper, but they follow the patterns such papers use.
Trap patterns: (1) using a surface-area formula when volume is what is conserved; (2) forgetting the ⅓ for a cone; (3) using the ratio of r² instead of r³ to count small spheres; (4) mixing curved and total surface area of a hemisphere; (5) putting slant height into a volume formula, or vertical height into a curved-area formula.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL, CHSL और MTS के गणित खंड तथा रेलवे NTPC और ग्रुप D के पेपरों में पिघलाने-ढालने के प्रश्न नियमित आते हैं, आमतौर पर गोले, बेलन या शंकु के साथ जहाँ π साफ़ कट जाता है। BPSC TRE-4 जैसी शिक्षक भर्ती परीक्षाओं के प्रारंभिक गणित खंड में क्षेत्रमिति शामिल है, और CTET शैली के प्रश्न अक्सर यही ठोस कक्षा के मॉडल या पानी की टंकी के संदर्भ में रखते हैं। ये प्रश्न अभ्यास के लिए AI द्वारा लिखे गए हैं, किसी पिछले प्रश्नपत्र से नहीं लिए गए, पर ऐसे पेपरों के पैटर्न का पालन करते हैं।
जाल के पैटर्न: (1) जब आयतन संरक्षित होता है तब पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लगाना; (2) शंकु में ⅓ भूल जाना; (3) छोटे गोलों की गिनती में r³ के बजाय r² का अनुपात लेना; (4) अर्धगोले के वक्र और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को मिलाना; (5) आयतन सूत्र में तिर्यक ऊँचाई या वक्र क्षेत्रफल सूत्र में लंब ऊँचाई रख देना।
Points to Remember
Volume is conserved in melting, recasting and immersion; surface area is not.
Cylinder: πr²h. Cone: ⅓πr²h. Sphere: 4/3 πr³. Hemisphere: 2/3 πr³.
Curved areas: cylinder 2πrh, cone πrl, sphere 4πr², hemisphere 2πr².
Total area of a hemisphere is 3πr²; of a solid cone is πr(r + l).
Slant height l = √(r² + h²); the volume formula uses vertical height h, not l.
Number of small solids = big volume ÷ small volume; cancel π first.
Radius doubled: volume × 8, area × 4.
⚠ Exam Tip 1: Write 'volume before = volume after' as the first line of every melting question; it stops you from reaching for an area formula.
⚠ Exam Tip 2: Cancel π, ⅓ and 4/3 before multiplying numbers; with radii 6 and 1 the answer is simply 6³ = 216, found in seconds.
याद रखने योग्य बातें
पिघलाने, ढालने और डुबोने में आयतन संरक्षित रहता है; पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं।
बेलन: πr²h। शंकु: ⅓πr²h। गोला: 4/3 πr³। अर्धगोला: 2/3 πr³।
वक्र क्षेत्रफल: बेलन 2πrh, शंकु πrl, गोला 4πr², अर्धगोला 2πr²।
अर्धगोले का कुल क्षेत्रफल 3πr² है; ठोस शंकु का πr(r + l)।
तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²); आयतन सूत्र में लंब ऊँचाई h आती है, l नहीं।
छोटे ठोसों की संख्या = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन; पहले π काटें।
त्रिज्या दोगुनी: आयतन × 8, क्षेत्रफल × 4।
⚠ Exam Tip 1: हर पिघलाने वाले प्रश्न की पहली पंक्ति में 'पहले का आयतन = बाद का आयतन' लिखें; इससे आप क्षेत्रफल के सूत्र की ओर नहीं भटकेंगे।
शेषफल, माइनस-वन ट्रिक, नौ का शेष और बाइनरी-दशमलव रूपांतरण
Remainders: Big Numbers, Tiny Answers
Questions such as 'what is the remainder when 7 × 13 × 19 is divided by 5?' or 'when 2^100 is divided by 3?' look frightening, yet they never require the full product. Every division obeys one identity: Dividend = Divisor × Quotient + Remainder, with the remainder always smaller than the divisor. The big idea is that remainders can be taken early. You may replace every number by its own remainder before you add or multiply, and the final remainder comes out the same. This short gives you the product rule, the minus-one trick for powers, the digit-sum check for 9 and 3, and the binary-to-decimal conversion that SSC and Railway papers love. Each method turns a page of arithmetic into two lines.
शेषफल: बड़ी संख्याएँ, छोटे उत्तर
'7 × 13 × 19 को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?' या '2^100 को 3 से भाग देने पर?' जैसे प्रश्न डरावने लगते हैं, पर इनमें पूरा गुणनफल निकालने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती। हर भाग एक ही सूत्र मानता है: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल, और शेषफल सदैव भाजक से छोटा होता है। मूल विचार यह है कि शेषफल पहले ही निकाला जा सकता है। जोड़ने या गुणा करने से पहले हर संख्या को उसके शेषफल से बदल दें, तो अंतिम शेषफल वही आता है। इस शॉर्ट में गुणनफल का नियम, घातों के लिए माइनस-वन ट्रिक, 9 और 3 की अंक-योग जाँच, और बाइनरी से दशमलव रूपांतरण है जो SSC और रेलवे में खूब पूछा जाता है। हर विधि पूरे पन्ने का हिसाब दो पंक्तियों में समेट देती है।
The Product and Sum Rule
Rule: the remainder of a sum or product equals the remainder of the sum or product of the remainders. Example: find the remainder of 17 × 23 divided by 5. Remainder of 17 is 2, remainder of 23 is 3, and 2 × 3 = 6, which is larger than 5, so reduce again: 6 ÷ 5 leaves 1. Answer 1. Check: 17 × 23 = 391 = 5 × 78 + 1. Correct. For three factors, reduce step by step: 7 × 13 × 19 ÷ 5 gives 2 × 3 × 4 = 24, and 24 ÷ 5 leaves 4. The same works for addition and subtraction. Only division is not allowed this way. One caution: always reduce the final answer again if it is not smaller than the divisor, because 6 is not a valid remainder for division by 5.
गुणनफल और योगफल का नियम
नियम: योगफल या गुणनफल का शेषफल, शेषफलों के योगफल या गुणनफल के शेषफल के बराबर होता है। उदाहरण: 17 × 23 को 5 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए। 17 का शेषफल 2 है, 23 का शेषफल 3 है, और 2 × 3 = 6 जो 5 से बड़ा है, इसलिए फिर घटाइए: 6 ÷ 5 पर शेषफल 1। उत्तर 1। जाँच: 17 × 23 = 391 = 5 × 78 + 1। सही। तीन गुणनखंड हों तो क्रम से घटाइए: 7 × 13 × 19 ÷ 5 में 2 × 3 × 4 = 24, और 24 ÷ 5 पर शेषफल 4 आता है। यही नियम जोड़ और घटाव पर भी चलता है। केवल भाग इस तरह नहीं किया जा सकता। एक सावधानी: यदि अंतिम उत्तर भाजक से छोटा न हो तो उसे फिर घटाइए, क्योंकि 5 से भाग में 6 वैध शेषफल नहीं है।
The Minus-One Trick for Powers
To find the remainder of a large power, look for a base that is one less than the divisor, because it behaves like minus one. Example: remainder of 2^100 divided by 3. Since 2 is one less than 3, write 2 as −1. Then (−1)^100 = 1 (even power), so the remainder is 1. For 5^99 divided by 6: 5 is one less than 6, so it is −1, and (−1)^99 = −1. A negative remainder is converted by adding the divisor: −1 + 6 = 5. Answer 5. If the base is not one less, try to build a power that equals one: 3^2 = 9 leaves 1 when divided by 8, so 3^50 = (3^2)^25 leaves 1. Odd power of minus one gives divisor minus one; even power gives one.
घातों के लिए माइनस-वन ट्रिक
किसी बड़ी घात का शेषफल निकालने के लिए ऐसा आधार खोजिए जो भाजक से एक कम हो, क्योंकि वह −1 की तरह व्यवहार करता है। उदाहरण: 2^100 को 3 से भाग देने पर शेषफल। 2, 3 से एक कम है, इसलिए 2 को −1 लिखिए। तब (−1)^100 = 1 (सम घात), अतः शेषफल 1 है। 5^99 को 6 से भाग देने पर: 5, 6 से एक कम है, इसलिए यह −1 है, और (−1)^99 = −1। ऋणात्मक शेषफल को भाजक जोड़कर बदलिए: −1 + 6 = 5। उत्तर 5। यदि आधार एक कम न हो, तो ऐसी घात बनाइए जो 1 के बराबर शेष दे: 3^2 = 9 को 8 से भाग देने पर शेष 1 बचता है, इसलिए 3^50 = (3^2)^25 का शेषफल 1 है। −1 की विषम घात भाजक−1 देती है; सम घात 1 देती है।
Digit Sums and Binary Numbers
Casting out nines: a number leaves the same remainder on division by 9 as its digit sum does. For 123456, the digit sum is 21, then 2 + 1 = 3, so the remainder on dividing by 9 is 3. For division by 3 the same digit sum works, and a digit sum of 9 or 18 means the number leaves 0. Binary numbers use only 0 and 1, with place values 1, 2, 4, 8, 16 from the right. To convert 1101 to decimal: 8 + 4 + 0 + 1 = 13. To convert 25 to binary, divide by 2 repeatedly and read the remainders upward: 25, 12, 6, 3, 1 give remainders 1, 0, 0, 1, 1, so 25 = 11001. A least number leaving the same remainder r with several divisors is the LCM of the divisors plus r: for 8 and 12 with remainder 5, it is 24 + 5 = 29.
अंकों का योग और बाइनरी संख्याएँ
नौ का शेष: किसी संख्या को 9 से भाग देने पर वही शेषफल आता है जो उसके अंकों के योग को 9 से भाग देने पर आता है। 123456 के अंकों का योग 21 है, फिर 2 + 1 = 3, इसलिए 9 से भाग देने पर शेषफल 3 है। 3 से भाग के लिए भी यही अंक-योग चलता है, और अंक-योग 9 या 18 हो तो शेषफल 0 होता है। बाइनरी संख्याओं में केवल 0 और 1 होते हैं, और दाईं ओर से स्थानीय मान 1, 2, 4, 8, 16 होते हैं। 1101 को दशमलव में बदलें: 8 + 4 + 0 + 1 = 13। 25 को बाइनरी में बदलने के लिए बार-बार 2 से भाग दें और शेषफल ऊपर की ओर पढ़ें: 25, 12, 6, 3, 1 पर शेषफल 1, 0, 0, 1, 1 आते हैं, अतः 25 = 11001। कई भाजकों से समान शेषफल r छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या भाजकों का ल.स. + r होती है: 8 और 12 के लिए शेष 5 हो तो 24 + 5 = 29।
What Exams Actually Ask
SSC CGL and CHSL set the large-power remainder in almost every paper, usually with a base one less than the divisor, such as 6^n divided by 7. Railway RRB NTPC and Group D favour binary-decimal conversion and the least number leaving a common remainder. BPSC TRE-4 and CTET frame the same ideas inside divisibility and number-system questions with small numbers. The trap patterns repeat. First, students forget that a negative remainder must be converted by adding the divisor. Second, they use the LCM alone and forget to add the remainder, or add it when the remainders differ by divisor. Third, they read binary from left to right as 1, 2, 4, 8 instead of right to left. Fourth, they apply the digit-sum rule for 9 to divisors such as 7, where it does not hold.
परीक्षाएँ वास्तव में क्या पूछती हैं
SSC CGL और CHSL लगभग हर पेपर में बड़ी घात का शेषफल पूछते हैं, आमतौर पर ऐसा आधार जो भाजक से एक कम हो, जैसे 6^n को 7 से भाग। रेलवे RRB NTPC और ग्रुप D बाइनरी-दशमलव रूपांतरण और समान शेषफल वाली सबसे छोटी संख्या पसंद करते हैं। BPSC TRE-4 और CTET यही विचार विभाज्यता और संख्या-पद्धति के प्रश्नों में छोटी संख्याओं के साथ रखते हैं। जाल के तरीके दोहराते हैं। पहला, विद्यार्थी भूल जाते हैं कि ऋणात्मक शेषफल को भाजक जोड़कर बदलना होता है। दूसरा, वे केवल ल.स. ले लेते हैं और शेषफल जोड़ना भूल जाते हैं। तीसरा, वे बाइनरी को दाएँ से बाएँ की जगह बाएँ से दाएँ 1, 2, 4, 8 पढ़ लेते हैं। चौथा, वे 9 का अंक-योग नियम 7 जैसे भाजकों पर लगा देते हैं, जहाँ वह लागू नहीं होता।
Points to Remember
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder, and the remainder is always smaller than the divisor. Remainders of sums and products can be taken first and combined later. A base that is one less than the divisor behaves like −1: odd power gives divisor minus one, even power gives one. Digit sum modulo 9 gives the remainder on division by 9 and 3. Least number with the same remainder r for several divisors is LCM + r. Binary place values from the right are 1, 2, 4, 8, 16, 32. To go from decimal to binary, divide by 2 and read remainders from bottom to top.
⚠ Exam Tip 1: A negative remainder is never the final answer; add the divisor, so −1 on division by 6 becomes 5.
⚠ Exam Tip 2: For 'least number leaving remainder r', the answer is LCM + r, not LCM − r and not LCM alone.
याद रखने योग्य बिंदु
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल, और शेषफल सदैव भाजक से छोटा होता है। योग और गुणनफल का शेषफल पहले निकालकर बाद में जोड़ा या गुणा किया जा सकता है। भाजक से एक कम आधार −1 की तरह चलता है: विषम घात भाजक−1 देती है, सम घात 1 देती है। अंक-योग से 9 और 3 से भाग का शेषफल मिलता है। कई भाजकों से समान शेषफल r वाली सबसे छोटी संख्या ल.स. + r है। दाईं ओर से बाइनरी के स्थानीय मान 1, 2, 4, 8, 16, 32 हैं। दशमलव से बाइनरी में जाने के लिए 2 से भाग दें और शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें।
⚠ Exam Tip 1: ऋणात्मक शेषफल कभी अंतिम उत्तर नहीं होता; भाजक जोड़िए, इसलिए 6 से भाग में −1 बदलकर 5 हो जाता है।
⚠ Exam Tip 2: 'शेषफल r छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या' का उत्तर ल.स. + r है, ल.स. − r नहीं और केवल ल.स. भी नहीं।
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समान समय, दो चालें x और y: अब साधारण औसत (x + y)/2 ही सही है।
अतः सूत्र चुनने से पहले एक शब्द पढ़िए: समान दूरी या समान समय। समान दूरी पर तीन चालें: औसत = 3xyz ÷ (xy + yz + zx)।
जब दो वस्तुएँ चलती हों, तो सापेक्ष चाल लीजिए:
हल सहित उदाहरण: 120 मीटर और 180 मीटर लंबी दो गाड़ियाँ 40 किमी/घंटा तथा 50 किमी/घंटा से आमने-सामने चल रही हैं।
सापेक्ष चाल = 90 किमी/घंटा = 90 × 5/18 = 25 मीटर/सेकंड।
कुल दूरी = 120 + 180 = 300 मीटर।
समय = 300 ÷ 25 = 12 सेकंड।
यदि वे एक ही दिशा में चलतीं, तो सापेक्ष चाल 10 किमी/घंटा ≈ 2.78 मीटर/सेकंड होती और पार करने में लगभग 108 सेकंड लगते। वही संख्याएँ, नौ गुना अंतर — इसीलिए परीक्षक इस जोड़ी को पसंद करते हैं।
हल सहित उदाहरण: एक नाव धारा के साथ 20 किमी 2 घंटे में तय करती है और लौटने में 4 घंटे लेती है।
धारा के साथ = 20/2 = 10 किमी/घंटा, धारा के विरुद्ध = 20/4 = 5 किमी/घंटा।
b = (10 + 5)/2 = 7.5 किमी/घंटा, s = (10 − 5)/2 = 2.5 किमी/घंटा।
देर से पहुँचने वाले प्रश्नों में बीजगणित नहीं, व्युत्क्रम अनुपात लगाइए। एक व्यक्ति सामान्य चाल की 3/4 चाल से चलकर 20 मिनट देर से पहुँचता है।
चाल का अनुपात 3 : 4 → समय का अनुपात 4 : 3।
अतिरिक्त 1 भाग = 20 मिनट, अतः सामान्य समय = 3 भाग = 60 मिनट।
जल्दी पहुँचने पर भी यही तर्क — भागों का अंतर ही मिनटों का अंतर है।
CTET तथा राज्य TET के प्रश्न कक्षा के संदर्भ में ढाले जाते हैं — स्कूटर, स्कूल बस, दो चलते बच्चे — पर भीतर का गणित बिल्कुल वही है।
UPSC CSAT इसे किसी ठहराव या विलंब सहित लंबी परिस्थिति में पिरोता है, जहाँ असली काम समय-क्रम को सही पढ़ना है।
⚠ Exam Tip 1: समान दूरी की औसत चाल दोनों चालों के बीच और उनके साधारण औसत से कम होनी ही चाहिए। 30 और 20 के लिए यदि 25 आ रहा है तो माध्य ग़लत लगाया गया है — केवल 24 ही सही हो सकता है।
⚠ Exam Tip 2: गणना से पहले दिशा वाला शब्द रेखांकित कीजिए। "आमने-सामने" का अर्थ है जोड़ना; "एक ही दिशा में" और "पीछे से पकड़ता है" का अर्थ है घटाना। रेलगाड़ी के प्रश्नों का फ़ैसला गणित से अधिक यही एक शब्द करता है।
भिन्न के रूप में लिखे अनुपात। ₹5,200 को A, B तथा C में 1/2 : 1/3 : 1/4 के अनुपात में बाँटिए। हर पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य 12 से गुणा कीजिए, अनुपात 6 : 4 : 3 हो जाता है। कुल भाग = 13, एक भाग = 400।
A = ₹2,400, B = ₹1,600, C = ₹1,200।
प्रतिशत से अनुपात। यदि A का 40% = B का 60% हो, तो 0.4A = 0.6B, अतः A/B = 0.6/0.4 = 3 : 2। उलटाव पर ध्यान दीजिए — बड़ा प्रतिशत छोटी राशि का होता है।
a : b तथा c : d का मिश्रित अनुपात ac : bd होता है। द्विगुणित अनुपात a² : b²; उपद्विगुणित √a : √b।
तीनों को याद रखने का सबसे सुरक्षित तरीका सूत्र स्मरण नहीं, समानुपात लिखकर अज्ञात हल करना है। '4 और 8 का तृतीयानुपाती' का अर्थ है 4 : 8 :: 8 : x, अतः 4x = 64 और x = 16। '3, 5, 12 का चतुर्थानुपाती' का अर्थ है 3 : 5 :: 12 : x, अतः 3x = 60 और x = 20।
हल सहित उदाहरण। A ₹9,000 से आरंभ करता है और 12 महीने रहता है। B ₹12,000 लेकर जुड़ता है और 6 महीने रहता है। कुल लाभ ₹15,000।
अनुपात = (9000 × 12) : (12000 × 6) = 108000 : 72000 = 3 : 2।
कुल भाग 5, एक भाग 3000। A = ₹9,000, B = ₹6,000।
ध्यान दीजिए, B ने अधिक धन लगाया फिर भी कम कमाया — यह समय का प्रभाव है।
आयु। अनुपात को 4x तथा 3x लीजिए, फिर दोनों में वर्ष जोड़िए।
हल सहित उदाहरण। A और B की वर्तमान आयु 4 : 3 के अनुपात में है। छह वर्ष बाद अनुपात 6 : 5 हो जाएगा।
(4x + 6)/(3x + 6) = 6/5 → 20x + 30 = 18x + 36 → 2x = 6 → x = 3।
अतः A की आयु 12 वर्ष तथा B की 9 वर्ष। जाँच: 18 : 15 = 6 : 5। ✓
CTET तथा राज्य TET इसे कक्षा के परिवेश में ढालते हैं — पेंसिलों का बँटवारा, बालक-बालिका अनुपात में कक्षा का विभाजन — भीतर गणित वही रहता है।
UPSC CSAT अनुपात को लंबे शाब्दिक प्रश्नों में पिरोता है, जहाँ असली कठिनाई यह तय करना है कि तुलना किन दो राशियों की हो रही है।
⚠ Exam Tip 1: साझेदारी में कुछ भी करने से पहले पूँजी × समय लिख लीजिए, चाहे सभी साझेदार समान महीनों तक रहे हों। इस आदत में तीन सेकंड लगते हैं और यह वर्ष के उस एक प्रश्न से बचा लेती है जिसमें महीने अलग-अलग होते हैं — और परीक्षा ठीक वही प्रश्न पूछती है।
⚠ Exam Tip 2: राशि बाँटने के बाद अपने उत्तरों को वापस जोड़िए। यदि A + B + C ठीक मूल राशि नहीं देता, तो भागों की कुल संख्या ग़लत ली गई है — पूरे अध्याय की सबसे तेज़ स्व-जाँच यही है।
याद रखिए: समान P, R और T पर CI हमेशा SI से अधिक होता है — केवल पहले वर्ष के अंत को छोड़कर, जहाँ दोनों बिल्कुल बराबर होते हैं, क्योंकि तब तक चक्रवृद्धि को काम करने का अवसर ही नहीं मिला।
अंतर = 10000 x (0.05)^2 = 10000 x 0.0025 = 25 रुपये।
लंबे रास्ते से जाँचिए: SI = 1,000 रुपये; CI = 11,025 - 10,000 = 1,025 रुपये। अंतर 25 रुपये। सही।
तीन वर्ष का उदाहरण: 16,000 रुपये, 5% दर।
अंतर = 16000 x 0.0025 x (305/100) = 40 x 3.05 = 122 रुपये।
ये सूत्र उलटे भी चलते हैं। यदि प्रश्न कहे कि 5% पर दो वर्ष का अंतर 25 रुपये है, तो P = 25 / 0.0025 = 10,000 रुपये। यह उल्टा रूप सीधे रूप जितनी ही बार पूछा जाता है।
उदाहरण: 8,000 रुपये, 20% वार्षिक, अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि, 1 वर्ष।
R = 10%, n = 2 लीजिए। मिश्रधन = 8000 x 1.21 = 9,680 रुपये, अतः CI = 1,680 रुपये — 1,600 नहीं, जो वार्षिक चक्रवृद्धि से मिलता।
SI में दुगुना और तिगुना होना। यदि राशि दुगुनी होती है, तो कमाया गया ब्याज मूलधन के बराबर होता है, अतः:
> दुगुनी: R x T = 100। तिगुनी: R x T = 200।
तो 8 वर्ष में दुगुनी होने वाली राशि के लिए R = 100/8 = 12.5%। 10 वर्ष में तिगुनी होने के लिए R = 20%।
CI में दुगुना होना समानुपाती नहीं है। यदि राशि 5 वर्ष में दुगुनी होती है, तो 10 वर्ष में चार गुनी और 15 वर्ष में आठ गुनी होगी — दो की घातें, गुणज कभी नहीं।
BPSC TRE-4 और CTET ब्याज को प्रारंभिक गणित खंड में रखते हैं, प्रायः कक्षा-जैसे शब्द-प्रश्न के रूप में — कोई दुकानदार, कोई ऋण, कोई बचत जमा — जहाँ कठिनाई वाक्य समझने में है, गणना में नहीं।
BPSC PCS तथा अन्य राज्य परीक्षाएँ ब्याज को किस्तों और जनसंख्या-वृद्धि के प्रश्नों के साथ मिलाती हैं, जो दूसरे नाम से चक्रवृद्धि सूत्र ही चलाते हैं।
तीन जाल जो बार-बार आते हैं:
⚠ Exam Tip 1: जब प्रश्न CI और SI का अंतर दे, तो दोनों कभी मत निकालिए। सीधे P(R/100)^2 में रखिए — एक ही पंक्ति में उत्तर, और P या R निकालने के लिए यह उलटा भी उतनी ही आसानी से चलता है।
⚠ Exam Tip 2: 10%, 20% और 25% की दरें इसलिए चुनी जाती हैं कि गुणक साफ रहें: 1.1, 1.2 और 1.25। 1.1^2 = 1.21, 1.1^3 = 1.331 तथा 1.2^2 = 1.44 कंठस्थ कर लीजिए, फिर अधिकांश चक्रवृद्धि प्रश्न एक ही गुणा में सिमट जाएँगे।
> SP = CP × (100 + P) / 100 · CP = SP × 100 / (100 + P)
हानि की स्थिति में (100 + P) के स्थान पर (100 – L) रखिए।
हल किया उदाहरण 1. CP = ₹400, SP = ₹500।
लाभ = ₹100, अतः लाभ % = 100/400 × 100 = 25%।
हल किया उदाहरण 2. कोई वस्तु 20% लाभ पर ₹720 में बिकी। CP ज्ञात कीजिए।
CP = 720 × 100 / 120 = ₹600। ध्यान दीजिए कि क्या नहीं चलता: ₹720 का 20% घटाना, जिससे ₹576 आता है। वह प्रतिशत विक्रय मूल्य पर ले लेता है, जबकि प्रतिशत क्रय मूल्य का होता है।
हल किया उदाहरण 3. एक व्यक्ति ₹450 में बेचकर 10% हानि उठाता है; 20% लाभ के लिए उसे कितने में बेचना चाहिए?
CP = 450 × 100/90 = ₹500, अतः SP = 500 × 120/100 = ₹600।
SP = 800 × 75/100 = ₹600। लाभ = 600 – 480 = ₹120। लाभ % = 120/480 × 100 = 25%।
"x% ऊपर अंकित, फिर y% छूट" वाले मानक प्रश्न का तेज़ रास्ता यह है कि CP = 100 मान लीजिए और गुणकों में काम कीजिए।
हल किया उदाहरण. एक व्यापारी वस्तुएँ लागत से 40% ऊपर अंकित करता है और फिर 25% छूट देता है।
CP = 100 → MP = 140 → SP = 140 × 0.75 = 105 → लाभ 5%।
यह 5% संख्या की तरह नहीं, आकृति की तरह याद रखने योग्य है: अंकन के बाद दी गई छूट कभी बराबरी नहीं करती, क्योंकि दोनों प्रतिशत अलग-अलग राशियों पर लिए जाते हैं।
3. कम बाट. जो दुकानदार क्रय मूल्य पर ही बेचता है पर कहे गए भार से कम देता है, उसका लाभ:
> लाभ % = त्रुटि / (सही मान – त्रुटि) × 100
एक किलोग्राम के लिए 900 ग्राम का बाट: 100/900 × 100 = 11 1/9 %। हर में वही भार आता है जो वास्तव में दिया गया, दावा किए गए 1000 ग्राम नहीं।
रेलवे NTPC और ग्रुप D एक चरण के प्रश्न सुंदर संख्याओं के साथ पूछते हैं, और प्रायः MP तथा SP देकर सीधे छूट प्रतिशत माँगते हैं।
बैंकिंग और राज्य लोक सेवा आयोग के पेपर बराबर लाभ–बराबर हानि वाले परिणाम को पसंद करते हैं, क्योंकि जो अभ्यर्थी याद करने के बजाय तर्क करता है वह लगभग सदा "न लाभ न हानि" लिख देता है।
• कम बाट: लाभ % = त्रुटि/(सही मान – त्रुटि) × 100। 900 ग्राम का किलो 11 1/9 % देता है।
• x% ऊपर अंकित फिर y% छूट → CP = 100 रखकर गुणा कीजिए; दोनों कभी बराबरी नहीं करते।
• यदि समान धन में ख़रीदी और बेची गई वस्तुओं की संख्या दी हो, तो लाभ % = (संख्याओं का अंतर / बेची गई संख्या) × 100।
⚠ Exam Tip 1: जब भी प्रश्न SP और कोई प्रतिशत दे, उस प्रतिशत को SP में से घटाने का लोभ रोकिए। भाग दीजिए — CP = SP × 100/(100 ± P)। यह एक आदत इस अध्याय की सबसे भारी दंड वाली भूल मिटा देती है, और वह ग़लत मान सदैव किसी विकल्प के रूप में छपा होता है।
⚠ Exam Tip 2: जिस प्रश्न में केवल प्रतिशत हों और कोई रुपया न हो, वहाँ CP = 100 मान लीजिए। उत्तर वैसे भी प्रतिशत में ही आएगा, इसलिए यह मान्यता निःशुल्क है और बीजगणित की तीन पंक्तियों को गुणा की एक पंक्ति बना देती है।
कहीं कोई भिन्न नहीं। दो कर्मियों का पारंपरिक सूत्र भी यही देता है: संयुक्त समय = xy / (x + y) = (10 × 15) / 25 = 6 दिन।
उल्टा प्रश्न भी उतना ही पूछा जाता है। A और B साथ में 6 दिन लेते हैं; B अकेला 15 दिन। A अकेला? कुल = 30, साथ = 5 यूनिट/दिन, B = 2 यूनिट/दिन, अतः A = 3 यूनिट/दिन → 30 ÷ 3 = 10 दिन।
दरें घटाइए। समय कभी मत घटाइए।
ऋणात्मक कार्य: यदि A बनाता है और B गिराता है, तो घटाइए। शुद्ध दर = 1/x − 1/y।
मज़दूरी किए गए कार्य के अनुपात में बँटती है, यानी दक्षता के अनुपात में — कभी भी लगे दिनों के अनुपात में नहीं।
ध्यान दीजिए जाल कौन-सा है: 8 − 6 = 2 घंटे। यह ग़लत है क्योंकि दरें घटती हैं, समय नहीं।
UPSC CSAT एकांतर दिन कार्य ("पहले दिन A, दूसरे दिन B …") और मज़दूरी-विभाजन पसंद करता है, जहाँ जाल यह है कि पैसा कार्य के अनुपात के बजाय दिनों के अनुपात में बाँट दिया जाए।
⚠ Exam Tip 1: जब प्रश्न कहे "x% अधिक दक्ष", तो समय के लिए उसे उलटिए — 25% अधिक दक्ष का अर्थ है दक्षता 5 : 4, अतः समय 4 : 5 होगा, 5 : 4 नहीं।
⚠ Exam Tip 2: "A और B n दिन साथ काम करते हैं, फिर A चला जाता है" में उन n दिनों में पूरे हुए यूनिट गिनिए और शेष को बचे हुए व्यक्ति की दर से भाग दीजिए। दिनों में से दिन कभी मत घटाइए।
विकर्ण 16 सेमी और 12 सेमी, समचतुर्भुज निकालिए। क्षेत्रफल = ½ × 16 × 12 = 96 सेमी²। पूरा प्रश्न उस आधे में है — 192 विकल्पों में इसीलिए रखा जाता है कि कोई उसे भूल जाए।
जब भी त्रिज्या 7 का गुणज हो, π = 22/7 लीजिए। यह संयोग नहीं है; यह प्रश्न बनाने वाले का संकेत है कि गणना साफ़ आनी चाहिए।
Hemisphere TSA is 3πr² because you pay for the curved dome and the flat circular lid.
ठोस — आयतन, वक्र पृष्ठ, कुल पृष्ठ
| ठोस | आयतन | वक्र/पार्श्व | कुल पृष्ठ |
|---|---|---|---|
| घन (a) | a³ | 4a² | 6a² |
| घनाभ (l,b,h) | lbh | 2h(l+b) | 2(lb+bh+hl) |
| बेलन (r,h) | πr²h | 2πrh | 2πr(r+h) |
| शंकु (r,h) | ⅓πr²h | πrl | πr(r+l) |
| गोला (r) | 4/3 πr³ | 4πr² | 4πr² |
| अर्धगोला (r) | 2/3 πr³ | 2πr² | 3πr² |
विकर्ण: घन a√3, घनाभ √(l²+b²+h²)।
शंकु में तिर्यक ऊँचाई चाहिए, ऊँचाई नहीं: l = √(r² + h²)। r = 7, h = 24 पर l = 25, अतः वक्र पृष्ठ = (22/7)(7)(25) = 550 सेमी² और कुल पृष्ठ = (22/7)(7)(7+25) = 704 सेमी²। आयतन = ⅓ × (22/7) × 49 × 24 = 1232 सेमी³। एक ही आकृति से तीन अलग-अलग सही उत्तर — इसीलिए प्रश्नपत्र तीनों को विकल्पों में रख देता है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठ 3πr² इसलिए है कि उसमें गुंबद का वक्र पृष्ठ और नीचे का समतल वृत्त, दोनों गिने जाते हैं।
UPSC CSAT नंगा सूत्र लगभग नहीं पूछता। वह तुलना पूछता है — दो बर्तनों में कौन अधिक भरेगा, या माप बदलने पर लागत का क्या होगा।
• गोला: V = 4/3 πr³, पृष्ठ = 4πr²। अर्धगोला: V = 2/3 πr³, वक्र पृष्ठ = 2πr², कुल पृष्ठ = 3πr²।
• समान r और h वाले शंकु : अर्धगोला : बेलन के आयतन का अनुपात = 1 : 2 : 3।
• लंबाई ×k ⇒ क्षेत्रफल ×k², आयतन ×k³।
• बाड़ = परिमाप · समतलीकरण, टाइल, रँगाई = क्षेत्रफल · भरना = आयतन।
⚠ Exam Tip 1: गणना शुरू करने से पहले "वक्र", "कुल", "पार्श्व" और "ढक्कन सहित / ऊपर से खुला" जैसे शब्दों को रेखांकित कीजिए। इनमें से हर शब्द सूत्र बदल देता है, और आपके बिना पढ़े संस्करण से मेल खाता विकल्प हमेशा छपा होता है।
⚠ Exam Tip 2: जब कोई ठोस पिघलाकर ढाला जाए, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल या लंबाइयों का अनुपात कभी मत मिलाइए — आयतन को आयतन के बराबर रखिए। यही एक पंक्ति ढालने वाले पूरे प्रश्न-परिवार को हल कर देती है।
• इकाई अंक — घातांक ÷ 4, फिर चक्र पढ़िए। 0, 1, 5, 6 कभी नहीं बदलते।
• aᵖbᑫ के गुणनखंड = (p + 1)(q + 1)। पहली n विषम संख्याओं का योग = n²।
⚠ परीक्षा टिप 1: LCM वाली शब्द-समस्या में — घंटियाँ, टाइल, साथ दौड़ते धावक — पहचान के शब्द हैं 'फिर एक साथ' और 'एक ही समय पर'। यदि प्रश्न सबसे बड़ा नाप या समान समूहों की अधिकतम संख्या पूछे, तो वह HCF है। संख्या छूने से पहले यह तय कीजिए।
⚠ परीक्षा टिप 2: HCF × LCM = गुणनफल को तीन संख्याओं पर कभी मत लगाइए। प्रश्नपत्र यही प्रश्न इसीलिए बनाते हैं क्योंकि शॉर्टकट देखने में सही लगता है। तीन संख्याएँ हों तो गुणनखंडन कीजिए।
⚠ Exam Tip 1: यदि प्रश्न में दो चालें दी हों और समय न दिया हो, तो वह समान दूरी का प्रश्न है — 2xy/(x + y) लगाइए। यदि दो समय दिए हों तो साधारण औसत लगाइए। "लौटता है" शब्द लगभग हमेशा समान दूरी का संकेत देता है।
⚠ Exam Tip 2: एलीगेशन हल करने के बाद दिशा की जाँच कीजिए — मिश्रण का मूल्य दोनों मूल्यों के बीच होना चाहिए, और बड़ा हिस्सा सदैव उस मूल्य का होता है जो माध्य के अधिक निकट है।
• भुजा-अनुपात k वाली समरूप आकृतियाँ: परिमाप k, क्षेत्रफल k², आयतन k³।
• केंद्रक हर माध्यिका को शीर्ष से 2:1 में बाँटता है; केंद्रक और अंतःकेंद्र सदैव भीतर।
• समकोण त्रिभुज: परिकेंद्र कर्ण के मध्यबिंदु पर, लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर।
• वृत्त: केंद्र पर कोण = 2 × दीर्घ चाप पर कोण; अर्धवृत्त का कोण = 90°; चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण = 180°; स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या; बाह्य बिंदु से खींची स्पर्श रेखाएँ बराबर।
⚠ Exam Tip 1: समकोण त्रिभुज में दो भुजाएँ दी हों तो पाइथागोरस लगाने से पहले त्रिक सूची पर नज़र दौड़ाइए — 40 सेकंड की गणना 5 सेकंड की याददाश्त बन जाती है।
⚠ Exam Tip 2: किसी भी 'कोण ज्ञात कीजिए' वाली आकृति में पूछे गए कोण को खोजने के बजाय तुरंत हर वह कोण अंकित कीजिए जो आप निकाल सकते हैं; माँगा गया कोण प्रायः लिखे हुए से दो ही चरण दूर निकल आता है।
⚠ Exam Tip 2: x + 1/x वाले प्रश्नों में मान रखने से पहले सूत्र लिख लीजिए। यहाँ लगभग हर गलत उत्तर सही सूत्र का उलटे चिह्न वाला रूप होता है, जो जल्दबाज़ी में स्मृति से काम करने पर बनता है।
बीस लड़के औसत 60 और तीस लड़कियाँ औसत 70 दें तो (20 × 60 + 30 × 70) ÷ 50 = 3300 ÷ 50 = 66, न कि 65।
संशोधन सूत्र, जो प्रश्नपत्र को अत्यंत प्रिय है:
संशोधित माध्य = पुराना माध्य + (सही मान − गलत मान) ÷ n।
यदि 10 पाठ्यांकों का माध्य 25 है और 45 का एक पाठ्यांक 25 लिख दिया गया, तो संशोधित माध्य = 25 + 20/10 = 27।
• माध्यिका: पहले क्रम में लगाइए। n विषम → ((n + 1)/2)वाँ पद। n सम → (n/2)वें और (n/2 + 1)वें पदों का माध्य।
• बहुलक = सर्वाधिक बार आने वाला मान; किसी समूह के दो बहुलक हो सकते हैं या एक भी नहीं।
• आनुभविक संबंध: बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य (मध्यम विषम आँकड़ों के लिए सन्निकटन)।
• परिसर = सबसे बड़ा − सबसे छोटा।
• हर प्रेक्षण में k जोड़िए → माध्य, माध्यिका, बहुलक तीनों k से बढ़ते हैं; परिसर अपरिवर्तित। हर प्रेक्षण को k से गुणा कीजिए → तीनों k गुना, और परिसर भी k गुना।
⚠ परीक्षा टिप 1: संयुक्त औसत में दोनों औसतों का औसत कभी मत लीजिए। समूह-आकार से भारित कीजिए। जो प्रश्नपत्र असमान समूह-आकार देता है, उसने अभारित संख्या जान-बूझकर विकल्पों में रखी है, और इस अध्याय की सबसे आम गलती यही एक है।
⚠ परीक्षा टिप 2: माध्यिका को छूने से पहले हर बार क्रम में लगाइए, तब भी जब सूची व्यवस्थित दिखे। लगभग क्रम में छपी सूची जिसमें एक मान जगह से हटा हो — यही मानक रचना है, और छपी सूची का बीच का पद सदा एक विकल्प होता है, तथा सदा गलत होता है।
एक आदत अधिकांश सरलीकरण प्रश्न हल कर देती है: व्यंजक उलझा दिखे तो सबसे पहले हर पद को ज्या और कोज्या में लिख डालिए। जब सब कुछ एक ही दो फलनों में आ जाता है, तब आवश्यक सर्वसमिका स्वयं दिखने लगती है।
ध्यान दीजिए, छाया मीनार से लंबी है, अर्थात सूर्य नीचा है, अर्थात कोण छोटा ही होना चाहिए। यही जाँच उत्तर चिह्नित करने से पहले √3 वाली उलटी गणना पकड़ लेती है।
इन सभी प्रश्नपत्रों में अंक एक ही दो भूलों से जाते हैं: जहाँ √3 से गुणा करना था वहाँ भाग दे देना, और कोण को क्षैतिज के बजाय ऊर्ध्वाधर से नाप लेना।
• sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1। कोज्या यही सूची उल्टी है।
• tan 0° = 0, tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 90° अपरिभाषित है।
• sin²θ + cos²θ = 1 · 1 + tan²θ = sec²θ · 1 + cot²θ = cosec²θ।
• sin(90° − θ) = cos θ, tan(90° − θ) = cot θ, sec(90° − θ) = cosec θ।
• पाइथागोरस त्रिक: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17। इनमें से एक पहचान लेने पर पाइथागोरस लगाने की आवश्यकता नहीं रहती।
• उन्नयन कोण और अवनमन कोण दोनों क्षैतिज से नापे जाते हैं।
• ऊँचाई-दूरी के हर प्रश्न में tan θ = ऊँचाई ÷ क्षैतिज दूरी।
• 45° पर ऊँचाई = दूरी। 30° पर दूरी = √3 × ऊँचाई। 60° पर दूरी = ऊँचाई ÷ √3।
• sin θ और cos θ कभी 1 से अधिक नहीं होते। sec θ और cosec θ कभी −1 और 1 के बीच नहीं होते।
⚠ परीक्षा टिप 1: ऊँचाई-दूरी का उत्तर निकालने से पहले तय कीजिए कि क्षैतिज दूरी ऊँचाई से अधिक आनी चाहिए या कम। छोटा कोण अर्थात लंबी छाया; बड़ा कोण अर्थात छोटी छाया। यही एक सेकंड की जाँच √3 वाली उलटी गणना पकड़ लेती है, जो इन प्रश्नों में जानबूझकर रखा गया सबसे आम गलत उत्तर है।
⚠ परीक्षा टिप 2: सरलीकरण अपरिचित लगे तो और कुछ करने से पहले हर पद को sin और cos में बदल दीजिए। एसएससी का लगभग हर सरलीकरण इस बदलाव के बाद एक ही पंक्ति में सिमट जाता है, और यह याद करने का बोझ भी हटा देता है कि कौन-सी सर्वसमिका लगेगी — पूरा व्यंजक एक ही दो फलनों में लिख देने पर आवश्यक सर्वसमिका स्वयं दिख जाती है।
· अभी n गुनी, t वर्ष बाद m गुनी: छोटी आयु = t(m − 1) / (n − m)।
· औसत आयु के प्रश्न कुल-आयु के प्रश्न हैं: कुल = औसत × व्यक्तियों की संख्या।
· उत्तर पर निशान लगाने से पहले उसे उस वाक्य में रखकर देखिए जिसका उपयोग नहीं हुआ।
⚠ Exam Tip 1: यदि विकल्प सादी संख्याएँ हों तो उलटा चलिए। हर विकल्प को दूसरी शर्त में रखिए और जहाँ बैठ जाए वहीं रुक जाइए — चार विकल्पों के साथ यह हल करने से तेज़ है, और इसमें चिह्न की भूल हो ही नहीं सकती।
⚠ Exam Tip 2: हल करने से पहले गोला लगाइए कि प्रश्न किसकी आयु चाहता है। x को पुत्र मानकर 12 पर निशान लगा देना जबकि प्रश्नपत्र पिता की आयु माँग रहा था — इस अध्याय में अंक खोने का यही सबसे आम तरीका है, और वह गलत उत्तर सदा विकल्पों में मौजूद रहता है।
दो बिंदुओं से जाती रेखा की प्रवणता: m = (y2 − y1) भाग (x2 − x1)। (2, 3) तथा (4, 7) से जाती रेखा की प्रवणता 4/2 है, अर्थात 2।
इसमें से किसी के लिए आरेख आवश्यक नहीं, यद्यपि एक रफ़ रेखाचित्र चिह्न की भूलें शीघ्र पकड़ लेता है।
· m : n अनुपात में विभाजन = ((m·x2 + n·x1)/(m + n), (m·y2 + n·y1)/(m + n)) — m दूसरे बिंदु के साथ जाता है।
· केंद्रक = तीनों शीर्षों का योग, 3 से भाग।
· क्षेत्रफल = ½|x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|; निरपेक्ष मान लीजिए।
· तीन बिंदु तब संरेख होते हैं जब वह क्षेत्रफल 0 हो।
· प्रवणता = (y2 − y1)/(x2 − x1)। समांतर: प्रवणताएँ बराबर। लंबवत: प्रवणताओं का गुणनफल = −1।
· रेखा: y = mx + c, जहाँ c y-अंतःखंड है।
⚠ Exam Tip 1: प्रतिस्थापन से पहले दोनों बिंदुओं को एक के नीचे एक लिखिए, x के नीचे x और y के नीचे y। इस अध्याय का लगभग हर गलत उत्तर गलत क्रम में किए गए घटाव अथवा कोष्ठक के भीतर खोए ऋण चिह्न से आता है, और ऊर्ध्वाधर सजावट दोनों को दिखा देती है।
⚠ Exam Tip 2: 'संरेख' को ऐसा संकेत शब्द मानिए जिसका अर्थ है 'क्षेत्रफल सूत्र लगाइए और शून्य की अपेक्षा कीजिए'। जो विद्यार्थी इसके बजाय दो प्रवणताएँ निकालकर मिलाते हैं उन्हें उत्तर वही मिलता है, किंतु समय तिगुना लगता है और फिसलने के लिए दो भाग-क्रियाएँ मिल जाती हैं।
a और b का गुणोत्तर माध्य होता है √(ab)। 8 और 18 के लिए GM = √144 = 12, जबकि AM = 13 — AM कभी GM से छोटा नहीं होता।
45² → 4 × 5 = 20, फिर 25 → 2025
65² → 6 × 7 = 42, फिर 25 → 4225
115² → 11 × 12 = 132, फिर 25 → 13225
नियम 2 — सर्वसमिका विधि। किसी गोल संख्या के निकट की किसी भी संख्या के लिए (a ± b)² = a² ± 2ab + b² लगाइए।
98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604
103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609
नियम 3 — वर्गान्तर। जब दो संख्याएँ किसी गोल संख्या से समान दूरी पर ऊपर और नीचे हों, तो उनका गुणनफल a² − b² होता है।
96 × 104 = (100 − 4)(100 + 4) = 10000 − 16 = 9984
47 × 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 2500 − 9 = 2491
नियम 4 — इकाई अंक मूल बता देता है। जिस पूर्ण वर्ग के अंत में 4 हो उसका मूल 2 या 8 पर समाप्त होगा; 9 पर समाप्त हो तो मूल 3 या 7 पर; 6 पर समाप्त हो तो मूल 4 या 6 पर। अतः √1764 का अंत 2 या 8 पर होगा, और चूँकि 40² = 1600 है, उत्तर 42 है।
43 × 11 → 4 _(4+3)_ 3 → 473
67 × 11 → 6 _(6+7 = 13)_ 7 → 1 का हासिल → 737
5, 25, 50 से गुणा। पहले 10, 100 या 100 से गुणा कीजिए, फिर आधा या चौथाई कीजिए।
86 × 5 = 860 ÷ 2 = 430
84 × 25 = 8400 ÷ 4 = 2100
46 × 50 = 4600 ÷ 2 = 2300
9, 99, 999 से गुणा। गोल संख्या से गुणा कीजिए और मूल संख्या घटा दीजिए।
47 × 9 = 470 − 47 = 423
38 × 99 = 3800 − 38 = 3762
100 के निकट दो संख्याओं के लिए आधार विधि। लिखिए कि प्रत्येक 100 से कितनी दूर है। बाएँ भाग के लिए आड़ा-तिरछा घटाइए, दाएँ भाग के लिए दोनों कमियों का गुणा कीजिए।
97 × 96: कमियाँ 3 और 4। बायाँ = 97 − 4 = 93। दायाँ = 3 × 4 = 12। उत्तर 9312।
5 से भाग का अर्थ है 2 से गुणा और दशमलव खिसकाना: 435 ÷ 5 = 870 ÷ 10 = 87।
संक्रियाओं का क्रम — वी-बोडमास। विनकुलम (रेखा), ब्रैकेट, ऑफ, भाग, गुणा, जोड़, घटाव। भाग और गुणा समान स्तर पर हैं और बाएँ से दाएँ किए जाते हैं, और यही बात जोड़ और घटाव पर भी लागू है।
12 + 8 ÷ 4 × 2 − 3
= 12 + 2 × 2 − 3
= 12 + 4 − 3 = 13
बोडमास के बिना कड़ाई से बाएँ से दाएँ पढ़ने पर 7 मिलता है — जो प्रश्नपत्र आपको विकल्प में देगा।
सन्निकटन। जब विकल्प दूर-दूर हों तो पूर्णांकित कीजिए और आगे बढ़िए। 449.7 का 19.98% ≈ 450 का 20% = 90। जहाँ संभव हो दोनों संख्याओं को विपरीत दिशाओं में पूर्णांकित कीजिए, ताकि त्रुटियाँ जुड़ने के बजाय कट जाएँ।
बैंक एवं बीमा प्रश्नपत्र अधिकांश सन्निकटन अभ्यास-सेटों का स्रोत हैं, और उनकी शैली हर जगह फैल चुकी है।
सी.टी.ई.टी. प्राथमिक एवं उच्च प्राथमिक स्तर तक सीमित रहता है, पर संक्रियाओं के क्रम वाला वही विचार कक्षा के परिवेश में पूछता है।
⚠ Exam Tip 1: कुछ भी गणना करने से पहले देखिए कि विकल्प कितनी दूर-दूर हैं। यदि उनमें लगभग 5% से अधिक अंतर हो तो दोनों संख्याओं को पूर्णांकित करके अनुमान लगाइए — प्रश्न अनुमान के लिए ही लिखा गया है।
⚠ Exam Tip 2: बोडमास वाले किसी भी व्यंजक में बाएँ से दाएँ वाला सीधा उत्तर विकल्प में अवश्य छपा होता है। यदि आपका उत्तर पंक्ति पढ़ने जितनी तेज़ी से आ गया, तो लगभग निश्चित है कि आपने संक्रियाओं का क्रम छोड़ दिया।
हल उदाहरण: 72 km/h (20 m/s) से चलती 300 m की ट्रेन 500 m का प्लेटफ़ॉर्म पार करती है। दूरी = 300 + 500 = 800 m। समय = 800 ÷ 20 = 40 s। प्लेटफ़ॉर्म की जगह खंभा होता तो समय 300 ÷ 20 = 15 s होता।
उलटा रूप: लंबाई L की ट्रेन खंभे को t सेकंड में पार करे तो चाल L/t है; और प्लेटफ़ॉर्म T सेकंड में पार करे तो L + P = चाल × T। ऐसे दो समीकरणों से L और P दोनों निकल आते हैं।
हल उदाहरण: 120 m और 130 m की ट्रेनें 40 km/h और 60 km/h से चलती हैं।
विपरीत दिशा: सापेक्ष चाल = 100 km/h = 100 × 5/18 = 250/9 m/s। दूरी = 250 m। समय = 250 × 9/250 = 9 s।
समान दिशा: सापेक्ष चाल = 20 km/h = 50/9 m/s। समय = 250 × 9/50 = 45 s।
वही ट्रेनें, वही लंबाइयाँ — केवल दिशा से उत्तर पाँच गुना बदल गया। इसीलिए "आमने-सामने", "विपरीत", "एक ही दिशा में" जैसे दिशा-शब्द प्रश्न के सबसे महत्वपूर्ण शब्द हैं।
उसी दिशा में चलते व्यक्ति या खंभे को पार करने पर उसकी लंबाई शून्य मानी जाती है, अतः दूरी केवल ट्रेन की लंबाई L रहती है।
हल उदाहरण: नाव 24 km धारा के अनुकूल 2 घंटे में जाती है और 3 घंटे में लौटती है। D = 24/2 = 12 km/h, U = 24/3 = 8 km/h। अतः u = (12 + 8)/2 = 10 km/h और v = (12 − 8)/2 = 2 km/h।
आना-जाना: u = 8 और v = 2 वाली नाव हर ओर 30 km जाती है। अनुकूल चाल 10 → 3 घंटे; प्रतिकूल चाल 6 → 5 घंटे; कुल 8 घंटे। ध्यान दें कि 60 km को स्थिर-जल चाल 8 से भाग देने पर 7.5 घंटे आते हैं — यह गलत पर लुभावना शॉर्टकट है, क्योंकि धारा जितनी देर मदद करती है उससे ज़्यादा देर रोकती है।
समान दूरी पर चालें a और b हों तो औसत चाल सीधा माध्य नहीं, 2ab ÷ (a + b) होती है। 40 और 60 km/h पर यह 48 km/h है, 50 नहीं।
BPSC TRE-4 इसे सामान्य अध्ययन के प्रारंभिक गणित भाग में परखता है, प्रायः सरल संख्याओं वाले एक या दो चरण के शाब्दिक प्रश्न के रूप में।
CTET इसी सामग्री को कक्षा-आधारित गणित की तरह पूछता है: शिक्षक विद्यार्थियों से समझाने को कहता है कि विपरीत गति में चालें क्यों जुड़ती हैं — इसलिए केवल सूत्र नहीं, अवधारणा भी स्पष्ट होनी चाहिए।
बार-बार आने वाले जाल:
हर गलत विकल्प किसी एक छूटे चरण का परिणाम है। पहचानिए कौन-सा चरण छूटा है, तो सही विकल्प खुद उभर आता है।
⚠ Exam Tip 1: किसी संख्या को छूने से पहले वह दूरी लिखिए जो ट्रेन को तय करनी है (L, L + P या L₁ + L₂) और चाल को m/s में बदलिए — ये दो पंक्तियाँ अधिकतर गलत विकल्प हटा देती हैं।
⚠ Exam Tip 2: जब सभी विकल्प ठीक लगें तो लुभावने विकल्प को जाँचिए: औसत के लिए 50, आने-जाने के लिए 7.5 घंटे, या बिना बदला मान — प्रायः यही जाल होते हैं।
परीक्षा में इसे उलटकर पूछा जाता है: मूलों पर कोई शर्त दी जाती है और अज्ञात गुणांक पूछा जाता है। तरीका वही रहता है — D लिखिए, शर्त (D = 0, D > 0 या D < 0) लगाइए, और जो छोटा समीकरण या असमिका बने उसे हल कीजिए।
ऊपर के उदाहरण में α² + β² = 25/4 − 1 = 21/4, यानी कोई मूल निकाले बिना उत्तर मिल गया।
मूलों से समीकरण बनाना: x² − (योग)x + (गुणनफल) = 0। मूल 3 और −2 से योग 1, गुणनफल −6, इसलिए समीकरण x² − x − 6 = 0। यह उलटी दिशा SSC में लोकप्रिय है, क्योंकि रूप याद हो तो दस सेकंड लगते हैं।
BPSC TRE-4 इसे प्रारंभिक गणित में रखता है और प्रायः सीधे हल करना या मूलों की प्रकृति पूछता है।
CTET इसे कक्षा-तर्क के रूप में पूछता है: मान रखने से मूल की जाँच क्यों होती है, या दोनों पक्षों को x से भाग देने पर मूल x = 0 क्यों खो जाता है।
बार-बार आने वाले जाल:
⚠ Exam Tip 1: यदि प्रश्न मूलों से बनी राशि (योग, गुणनफल, α² + β²) पूछे, तो समीकरण हल मत कीजिए — −b/a और c/a लिखिए और दो पंक्तियों में समाप्त कीजिए।
⚠ Exam Tip 2: "बराबर मूल" या "वास्तविक मूल" वाले प्रश्नों में D लिखते समय c का चिह्न कोष्ठक में रखिए, जैसे 4·a·(−2), फिर गुणा कीजिए।
पहले यह लिखें कि हर चरण में कितना भिन्न बचता है। बाक़ी सब कुछ उसी से निकलता है।
⚠ परीक्षा सुझाव 1: यदि विकल्पों में सीधा परिणाम n − xk मौजूद हो, तो वह लगभग निश्चित रूप से जाल है; जाँचें कि क्या बाद की निकासी सचमुच शुद्ध हो सकती थी।
⚠ परीक्षा सुझाव 2: x/n को पहले 9/10 या 7/8 जैसे सरल भिन्न में बदलें; छोटे भिन्नों की घात जल्दी निकलती है और हर आपको विकल्पों की जाँच का आधार देता है।
⚠ परीक्षा सुझाव 2: जब मूलधन गोल संख्या हो और अंतर दिया हो, तो पहले अंतर वाला सूत्र लगाएँ; इससे लंबा गुणा पूरी तरह बच जाता है।
⚠ Exam Tip 1: सूत्र छूने से पहले 'A : B = ...' को समान समय में तय दूरियों के अनुपात के रूप में लिखें; तब अधिकतर दौड़ के प्रश्न दो पंक्तियों में पूरे हो जाते हैं।
⚠ Exam Tip 2: प्रश्न में 'विपरीत' या 'समान' दिशा और 'पहला मिलन' या 'प्रारंभ बिंदु पर' रेखांकित करें; विकल्पों में हर गलत उत्तर प्रायः इन्हीं शब्दों के किसी दूसरे पाठ का उत्तर होता है।
⚠ Exam Tip 2: संख्याएँ गुणा करने से पहले π, ⅓ और 4/3 को काट दें; त्रिज्याएँ 6 और 1 हों तो उत्तर सीधे 6³ = 216 सेकंडों में मिल जाता है।