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Number System

संख्या पद्धति

1 topic · 5 cards

1. Number System — Place Value, Divisibility, Primes and Rationals

संख्या पद्धति — स्थानीय मान, विभाज्यता, अभाज्य और परिमेय

Numbers, place value and the two ways of grouping digits

The families

natural numbers — 1, 2, 3, …
whole numbers — 0, 1, 2, 3, … (the natural numbers with zero)
integers — …, −2, −1, 0, 1, 2, …
rational numbers — p/q with p and q integers and q ≠ 0

Indian and international grouping

System	Commas

संख्याएँ, स्थानीय मान और अंकों को समूहित करने के दो तरीक़े

परिवार

प्राकृत संख्याएँ — 1, 2, 3, …
पूर्ण संख्याएँ — 0, 1, 2, 3, … (शून्य सहित प्राकृत संख्याएँ)
पूर्णांक — …, −2, −1, 0, 1, 2, …
परिमेय संख्याएँ — p/q के रूप की, जिसमें p, q पूर्णांक हों और हर q शून्य न हो

भारतीय और अंतरराष्ट्रीय समूहन

पद्धति	अल्पविराम	50801592 ऐसे लिखा जाता है
भारतीय	दाईं ओर से पहले तीन अंकों के बाद, फिर हर दो के बाद	5,08,01,592
अंतरराष्ट्रीय	हर तीन के बाद	50,801,592

1 लाख = 100 हज़ार · 10 लाख = 1 मिलियन · 1 करोड़ = 10 मिलियन · 100 करोड़ = 1 बिलियन
जातीय मान स्वयं अंक है; स्थानीय मान अंक गुणा उसका स्थान है — 4,56,789 में 6 का जातीय मान 6 और स्थानीय मान 6,000 है

रोमन अंक — I 1, V 5, X 10, L 50, C 100, D 500, M 1000

कोई प्रतीक अधिकतम तीन बार दोहराया जाता है; V, L और D कभी नहीं दोहराए जाते
बड़े प्रतीक से पहले छोटा प्रतीक घटाया जाता है, और केवल I को V या X से पहले, X को L या C से पहले, C को D या M से पहले: XLIV = 44, XCIX = 99

जाल: भारतीय पद्धति में पहला अल्पविराम तीन अंकों के बाद आता है और उसके बाद हर एक दो के बाद।

Divisibility — the tests a paper sets

Divisible by	Test
2	the last digit is even
3	the sum of the digits is divisible by 3
4	the number formed by the last two digits is divisible by 4
5	the last digit is 0 or 5
6	divisible by both 2 and 3
8	the number formed by the last three digits is divisible by 8
9	the sum of the digits is divisible by 9
10	the last digit is 0
11	the sums of the digits in the odd and the even places differ by 0 or a multiple of 11

The test for 11, worked — 3,08,605: digits in the odd places from the right, 5 + 6 + 0 = 11; in the even places, 0 + 8 + 3 = 11; the difference is 0, so 11 divides it.

The product rule — a number divisible by two co-prime numbers is divisible by their product: divisible by 3 and by 4 means divisible by 12.

The trap: the rule needs co-primes. A number divisible by 4 and by 6 need not be divisible by 24 — 12 is divisible by both — because 4 and 6 share the factor 2.

विभाज्यता — परीक्षा में पूछे जाने वाले नियम

किससे विभाज्य	नियम
2	अंतिम अंक सम हो
3	अंकों का योगफल 3 का गुणज हो
4	अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो
5	अंतिम अंक 0 या 5 हो
6	2 और 3 दोनों से विभाज्य हो
8	अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो
9	अंकों का योगफल 9 का गुणज हो
10	अंतिम अंक 0 हो
11	विषम और सम स्थानों के अंकों के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज हो

11 का नियम, हल करके — 3,08,605: दाईं ओर से विषम स्थानों के अंक, 5 + 6 + 0 = 11; सम स्थानों के, 0 + 8 + 3 = 11; अंतर 0 है, इसलिए 11 इसे विभाजित करता है।

गुणनफल का नियम — जो संख्या दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य हो, वह उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है: 3 और 4 से विभाज्य का अर्थ है 12 से विभाज्य।

जाल: नियम को सह-अभाज्य चाहिए। 4 और 6 से विभाज्य संख्या का 24 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं — 12 दोनों से विभाज्य है — क्योंकि 4 और 6 में गुणनखंड 2 साझा है।

Primes, factors, HCF and LCM

a prime has exactly two factors, 1 and itself; a composite has more than two
1 is neither prime nor composite · 2 is the only even prime · there are 25 primes below 100
twin primes differ by 2 — (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)
co-primes have HCF 1 and need not be primes themselves — 8 and 15
the Sieve of Eratosthenes finds the primes by striking out the multiples of 2, 3, 5 and 7 in turn
every number has one prime factorisation (the Fundamental Theorem of Arithmetic); NCERT also records Goldbach's observation that every even number greater than 4 is the sum of two odd primes

HCF and LCM

HCF — the highest common factor; LCM — the least common multiple
for two numbers, HCF × LCM = the product of the numbers: 12 and 18 have HCF 6 and LCM 36, and 6 × 36 = 216 = 12 × 18
for co-primes the HCF is 1 and the LCM is their product
for fractions: HCF = HCF of the numerators ÷ LCM of the denominators; LCM = LCM of the numerators ÷ HCF of the denominators

Reading a word problem — the greatest length that measures, the largest tile that fits, the most equal groups: HCF. When bells ring together again, when runners meet at the start: LCM.

The trap: HCF × LCM = product holds for two numbers only — it fails for three.

अभाज्य, गुणनखंड, म.स. और ल.स.

अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और स्वयं; भाज्य के दो से अधिक
1 न अभाज्य है न भाज्य · 2 एकमात्र सम अभाज्य है · 100 से कम 25 अभाज्य हैं
जुड़वाँ अभाज्य 2 से भिन्न होते हैं — (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)
सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. 1 होता है और उनका स्वयं अभाज्य होना आवश्यक नहीं — 8 और 15
इरेटोस्थनीज़ की छलनी 2, 3, 5 और 7 के गुणजों को बारी-बारी से काटकर अभाज्य खोजती है
हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन एक ही होता है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय); NCERT गोल्डबाख़ का यह प्रेक्षण भी दर्ज करता है कि 4 से बड़ी हर सम संख्या दो विषम अभाज्यों का योग है

म.स. और ल.स.

म.स. — महत्तम समापवर्तक; ल.स. — लघुत्तम समापवर्त्य
दो संख्याओं के लिए म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल: 12 और 18 का म.स. 6 और ल.स. 36 है, और 6 × 36 = 216 = 12 × 18
सह-अभाज्यों का म.स. 1 और ल.स. उनका गुणनफल होता है
भिन्नों के लिए: म.स. = अंशों का म.स. ÷ हरों का ल.स.; ल.स. = अंशों का ल.स. ÷ हरों का म.स.

शाब्दिक प्रश्न पढ़ना — ठीक-ठीक मापने वाली सबसे बड़ी लंबाई, फ़िट होने वाली सबसे बड़ी टाइल, सबसे अधिक बराबर समूह: म.स.

Rational numbers — the properties that sort the families

A rational number is p/q with integers p, q and q ≠ 0. Every integer, every fraction and every terminating or recurring decimal is rational; π and √2 are not.

Closed under	Whole numbers	Integers	Rationals
addition	yes	yes	yes
subtraction	no	yes	yes
multiplication	yes	yes	yes
division	no	no	no — division by zero

commutative and associative for addition and multiplication; not for subtraction or division
additive identity 0; multiplicative identity 1
the additive inverse of a/b is −a/b; the multiplicative inverse (reciprocal) of a/b is b/a, for a ≠ 0
0 has no reciprocal; 1 and −1 are their own reciprocals
distributivity — a(b + c) = ab + ac
density — between any two rationals lie infinitely many more; their mean (a + b)/2 is always one of them. Integers are not dense: nothing lies between 3 and 4.

The trap: rationals fail closure under division only because of zero — for non-zero divisors the quotient is always rational.

परिमेय संख्याएँ — वे गुणधर्म जो परिवारों को अलग करते हैं

परिमेय संख्या p/q है, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। हर पूर्णांक, हर भिन्न और हर सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय है; π और √2 नहीं।

किसके अंतर्गत संवृत	पूर्ण संख्याएँ	पूर्णांक	परिमेय
योग	हाँ	हाँ	हाँ
व्यवकलन	नहीं	हाँ	हाँ
गुणन	हाँ	हाँ	हाँ
भाग	नहीं	नहीं	नहीं — शून्य से भाग

योग और गुणन के लिए क्रमविनिमेय और साहचर्य; व्यवकलन या भाग के लिए नहीं
योज्य तत्समक 0; गुणनात्मक तत्समक 1
a/b का योज्य प्रतिलोम −a/b है; a/b का

Points to Remember

Natural, whole, integers, rationals · Indian commas 3 then 2, international every 3 · 10 lakh = 1 million, 1 crore = 10 million
Place value = digit × place · Roman: I V X L C D M, no symbol more than thrice, V, L, D never repeated
Divisibility: 3 and 9 — digit sum · 4 — last two · 8 — last three · 11 — alternate sums differ by 0 or 11
Divisible by two co-primes ⇒ divisible by their product — not otherwise
1 is neither · 2 the only even prime · 25 primes below 100 · co-primes need not be prime
HCF × LCM = product — two numbers only · fractions: HCF = HCF num ÷ LCM den
Rationals closed under +, −, × · not ÷ (zero) · identities 0 and 1 · 0 has no reciprocal · rationals are dense
Exam tip: the greatest size that divides exactly is an HCF problem; the next time things coincide is an LCM problem

स्मरणीय बिंदु

प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय · भारतीय अल्पविराम 3 फिर 2, अंतरराष्ट्रीय हर 3 · 10 लाख = 1 मिलियन, 1 करोड़ = 10 मिलियन
स्थानीय मान = अंक × स्थान · रोमन: I V X L C D M, कोई प्रतीक तीन से अधिक बार नहीं, V, L, D कभी नहीं दोहराए जाते
विभाज्यता: 3 और 9 — अंकों का योग · 4 — अंतिम दो · 8 — अंतिम तीन · 11 — एकांतर योगों का अंतर 0 या 11
दो सह-अभाज्यों से विभाज्य ⇒ उनके गुणनफल से विभाज्य — अन्यथा नहीं
1 अभाज्य भी नहीं, भाज्य भी नहीं · सम अभाज्य केवल 2 · 100 से कम 25 अभाज्य · सह-अभाज्यों का अभाज्य होना आवश्यक नहीं
म.स. × ल.स. = गुणनफल — केवल दो संख्याएँ · भिन्न: म.स. = अंशों का म.स. ÷ हरों का ल.स.
परिमेय +, −, × के अंतर्गत संवृत · ÷ के नहीं (शून्य) · तत्समक 0 और 1 · 0 का व्युत्क्रम नहीं · परिमेय सघन हैं
परीक्षा टिप: ठीक-ठीक विभाजित करने वाला सबसे बड़ा माप म.स. का प्रश्न है; चीज़ें फिर कब साथ होंगी, यह ल.स. का

Indian	after the first three digits from the right, then after every two	5,08,01,592
International	after every three	50,801,592