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Real Numbers

वास्तविक संख्याएँ

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1. Real Numbers

वास्तविक संख्याएँ

Rational, irrational and their decimals

the real numbers are the rationals together with the irrationals; every real number is a point on the number line, and every point is a real number
a number is rational when it can be written p/q, p and q integers with q non-zero; its decimal terminates or is non-terminating recurring
an irrational number has a decimal that is non-terminating and non-recurring — √2, √3, π

Which rationals terminate? — write p/q in lowest terms; the decimal terminates exactly when q has no prime factors other than 2 and 5, that is, q = 2ᵐ5ⁿ.

Fraction

परिमेय, अपरिमेय और उनके दशमलव

वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर हैं; हर वास्तविक संख्या संख्या रेखा पर एक बिंदु है, और हर बिंदु एक वास्तविक संख्या
कोई संख्या परिमेय है जब उसे p/q लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q शून्य न हो; इसका दशमलव सांत या असांत आवर्ती होता है
अपरिमेय संख्या का दशमलव असांत और अनावर्ती होता है — √2, √3, π

कौन-से परिमेय सांत होते हैं? — p/q को न्यूनतम रूप में लिखिए; दशमलव ठीक तब सांत होता है जब q के 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड न हों, अर्थात् q = 2ᵐ5ⁿ।

भिन्न	हर	दशमलव
13/3125	5⁵	सांत
17/8	2³	सांत, 2.125
7/12	2² × 3	आवर्ती
29/343	7³	आवर्ती

आवर्ती से भिन्न — x = 0.474747…; 100x = 47.4747…; घटाने पर 99x = 47, अतः x = 47/99।

जाल: हर की जाँच भिन्न को सरल करने के बाद कीजिए — 6/15 = 2/5 सांत है, यद्यपि 15 में 3 है।

The fundamental theorem of arithmetic

every composite number can be written as a product of primes, and this factorisation is unique apart from the order of the factors
from the prime factorisations: the HCF is the product of the smallest powers of the common primes; the LCM is the product of the largest powers of all the primes
for two numbers, HCF × LCM = product of the numbers — this does not hold for three

Example — 96 = 2⁵ × 3 and 404 = 2² × 101; HCF = 2² = 4; LCM = 2⁵ × 3 × 101 = 9696; check: 4 × 9696 = 38,784 = 96 × 404.

Euclid's division algorithm — a = bq + r with 0 ≤ r < b; repeat on (b, r) until the remainder is 0; the last non-zero remainder is the HCF.

HCF(455, 42): 455 = 42 × 10 + 35; 42 = 35 × 1 + 7; 35 = 7 × 5 + 0, so the HCF is 7

A classic — can 6ⁿ end in 0 for some natural n? A number ending in 0 is divisible by 5, but 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ has no factor 5 — so never, by the uniqueness of factorisation.

The trap: HCF × LCM = product works for two numbers only — for three numbers it fails in general.

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर अद्वितीय है
अभाज्य गुणनखंडनों से: HCF उभयनिष्ठ अभाज्यों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल है; LCM सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल है
दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल — यह तीन के लिए लागू नहीं होता

उदाहरण — 96 = 2⁵ × 3 और 404 = 2² × 101; HCF = 2² = 4; LCM = 2⁵ × 3 × 101 = 9696; जाँच: 4 × 9696 = 38,784 = 96 × 404।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म — a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b; शेषफल 0 होने तक (b, r) पर दोहराइए; अंतिम शून्येतर शेषफल HCF है।

HCF(455, 42): 455 = 42 × 10 + 35; 42 = 35 × 1 + 7; 35 = 7 × 5 + 0, अतः HCF 7 है

एक प्रसिद्ध प्रश्न — क्या किसी प्राकृत n के लिए 6ⁿ का अंत 0 से हो सकता है? 0 पर समाप्त संख्या 5 से विभाज्य होती है, पर 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ में 5 का गुणनखंड नहीं — इसलिए कभी नहीं, गुणनखंडन की अद्वितीयता से।

जाल: HCF × LCM = गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए है — तीन संख्याओं के लिए यह सामान्यतः विफल है।

Proving irrationality

√2 is irrational — by contradiction

suppose √2 = a/b with a, b integers having no common factor
then 2b² = a², so a² is even, and hence a is even; write a = 2c
then 2b² = 4c², so b² = 2c², and b is even too
a and b share the factor 2 — contradicting step 1; so √2 is irrational

The lemma behind it — if a prime p divides a², then p divides a. The same argument proves √3, √5 and every √p irrational for a prime p.

Combining numbers

Combination	Result
rational + irrational	always irrational — so 5 − √3 is irrational
non-zero rational × irrational	always irrational — so 2√3 is irrational
irrational + irrational	may be rational: (2 + √3) + (2 − √3) = 4
irrational × irrational	may be rational: √2 × √8 = 4

Between any two numbers — between two distinct rationals there are infinitely many rationals and infinitely many irrationals.

The trap: the sum or product of two irrationals is not always irrational — check the particular numbers.

अपरिमेयता सिद्ध करना

√2 अपरिमेय है — विरोधाभास से

मान लीजिए √2 = a/b, जहाँ a, b पूर्णांक हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं
तब 2b² = a², अतः a² सम है, और इसलिए a सम है; a = 2c लिखिए
तब 2b² = 4c², अतः b² = 2c², और b भी सम है
a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है — जो चरण 1 का खंडन है; अतः √2 अपरिमेय है

इसके पीछे की प्रमेयिका — यदि अभाज्य p, a² को विभाजित करे, तो p, a को विभाजित करता है। यही तर्क √3, √5 और अभाज्य p के लिए हर √p को अपरिमेय सिद्ध करता है।

संख्याओं का संयोजन

संयोजन	परिणाम
परिमेय + अपरिमेय	सदा अपरिमेय — अतः 5 − √3 अपरिमेय है
शून्येतर परिमेय × अपरिमेय	सदा अपरिमेय — अतः 2√3 अपरिमेय है
अपरिमेय + अपरिमेय	परिमेय हो सकता है: (2 + √3) + (2 − √3) = 4
अपरिमेय × अपरिमेय	परिमेय हो सकता है: √2 × √8 = 4

किन्हीं दो संख्याओं के बीच — दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

जाल: दो अपरिमेय संख्याओं का योग या गुणनफल सदा अपरिमेय नहीं

Exponents and surds

Laws of exponents — for a > 0 and rational m, n:

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · aᵐbᵐ = (ab)ᵐ
a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a^(1/n) = ⁿ√a · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
examples: 64^(1/3) = 4, so 64^(−1/3) = 1/4; 32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4

Rationalising the denominator — multiply by the conjugate:

1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/[(√5)² − (√3)²] = (√5 + √3)/2
1/(2 + √3) = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3

Identities with surds — (√a + √b)(√a − √b) = a − b; (√a + √b)² = a + b + 2√(ab).

Representing √x on the line — for x = 9.3: mark AB = 9.3 and BC = 1, draw a semicircle on AC as diameter, and erect a perpendicular at B; its length to the semicircle is √9.3.

The trap: √(a + b) is not √a + √b — √(9 + 16) = 5, while √9 + √16 = 7.

घातांक और करणी

घातांक के नियम — a > 0 और परिमेय m, n के लिए:

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · aᵐbᵐ = (ab)ᵐ
a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a^(1/n) = ⁿ√a · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
उदाहरण: 64^(1/3) = 4, अतः 64^(−1/3) = 1/4; 32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4

हर का परिमेयकरण — संयुग्मी से गुणा कीजिए:

1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/[(√5)² − (√3)²] = (√5 + √3)/2
1/(2 + √3) = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3

करणियों वाली सर्वसमिकाएँ — (√a + √b)(√a − √b) = a − b; (√a + √b)² = a + b + 2√(ab)।

रेखा पर √x दिखाना — x = 9.3 के लिए: AB = 9.3 और BC = 1 चिह्नित कीजिए, AC को व्यास मानकर अर्धवृत्त खींचिए, और B पर लंब खड़ा कीजिए; अर्धवृत्त तक उसकी लंबाई √9.3 है।

जाल: √(a + b), √a + √b नहीं है — √(9 + 16) = 5, जबकि √9 + √16 = 7।

Points to Remember

rational ⇔ terminating or recurring decimal · irrational ⇔ non-terminating, non-recurring
p/q in lowest terms terminates ⇔ q = 2ᵐ5ⁿ · test after cancelling
0.474747… = 47/99 — multiply by 10ᵏ for a k-digit period and subtract
fundamental theorem — unique prime factorisation · HCF: smallest powers · LCM: largest powers
HCF × LCM equals the product only for a pair of numbers · 96, 404 → HCF 4, LCM 9696
Euclid: a = bq + r, 0 ≤ r < b · HCF(455, 42) = 7 · 6ⁿ never ends in 0
√2 irrational by contradiction · p ∣ a² ⇒ p ∣ a for prime p
rational ± irrational → irrational · two irrationals may combine to a rational
a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ · 1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/2
Exam tip: in a terminating-decimal question, factorise the denominator fully first — a single 3, 7 or 11 left over settles it

स्मरणीय बिंदु

परिमेय ⇔ सांत या आवर्ती दशमलव · अपरिमेय ⇔ असांत, अनावर्ती
न्यूनतम रूप का p/q सांत ⇔ q = 2ᵐ5ⁿ · सरल करने के बाद जाँच
0.474747… = 47/99 — k अंकों की आवृत्ति के लिए 10ᵏ से गुणा करके घटाइए
आधारभूत प्रमेय — अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन · HCF: सबसे छोटी घातें · LCM: सबसे बड़ी घातें
HCF × LCM = गुणनफल — केवल दो संख्याएँ · 96, 404 → HCF 4, LCM 9696
यूक्लिड: a = bq + r, 0 ≤ r < b · HCF(455, 42) = 7 · 6ⁿ कभी 0 पर समाप्त नहीं
विरोधाभास से √2 अपरिमेय · अभाज्य p के लिए p ∣ a² ⇒ p ∣ a
परिमेय ± अपरिमेय → अपरिमेय · दो अपरिमेय मिलकर परिमेय दे सकती हैं
a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ · 1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/2
परीक्षा टिप: सांत दशमलव वाले प्रश्न में पहले हर का पूरा गुणनखंडन कीजिए — बचा हुआ एक 3, 7 या 11 ही फ़ैसला कर देता है

13/3125	5⁵	terminates
17/8	2³	terminates, 2.125
7/12	2² × 3	recurring
29/343	7³	recurring