Motion

Acceleration and the three equations of motion

Acceleration a = (v − u) ÷ t, the rate of change of velocity, in m/s². It is negative (retardation) when the body slows down.

For uniform acceleration, with u the initial velocity, v the final velocity, a the acceleration, t the time and s the displacement:

All three can be read off a velocity–time graph: the slope gives a, and the area under the line gives s.

Worked example — a car starts from rest and reaches 20 m/s in 5 s.

• a = (20 − 0) ÷ 5 = 4 m/s²
• s = 0 + ½ × 4 × 5² = 50 m
• check with the third equation: 20² = 0 + 2 × 4 × s gives s = 400 ÷ 8 = 50 m ✓

Stopping — a train moving at 20 m/s brakes with a retardation of 2 m/s². It stops after t = 20 ÷ 2 = 10 s and travels s = 20² ÷ (2 × 2) = 100 m.

Free fall — near the Earth, a body falls with a ≈ 9.8 m/s² (often taken as 10 for quick sums), whatever its mass, if air resistance is ignored.

The trap: 'starts from rest' means u = 0; 'comes to rest' means v = 0 — half the errors in these sums come from putting the zero in the wrong place.

त्वरण और गति के तीन समीकरण

त्वरण a = (v − u) ÷ t, वेग परिवर्तन की दर, m/s² में। पिंड के धीमा होने पर यह ऋणात्मक (मंदन) होता है।

एकसमान त्वरण के लिए, जहाँ u प्रारंभिक वेग, v अंतिम वेग, a त्वरण, t समय और s विस्थापन है:

तीनों वेग–समय ग्राफ़ से पढ़े जा सकते हैं: ढाल a देती है, और रेखा के नीचे का क्षेत्रफल s।

हल किया उदाहरण — एक कार विराम से चलकर 5 s में 20 m/s तक पहुँचती है।

• a = (20 − 0) ÷ 5 = 4 m/s²
• s = 0 + ½ × 4 × 5² = 50 m
• तीसरे समीकरण से जाँच: 20² = 0 + 2 × 4 × s से s = 400 ÷ 8 = 50 m ✓

रुकना — 20 m/s से चलती रेलगाड़ी 2 m/s² के मंदन से ब्रेक लगाती है। वह t = 20 ÷ 2 = 10 s बाद रुकती है और s = 20² ÷ (2 × 2) = 100 m चलती है।

Reading motion graphs — and circular motion

Distance–time graph

Velocity–time graph

A distance–time graph can never slope downward (distance never decreases) and can never be vertical (that would mean infinite speed).

Uniform circular motion — a body moving round a circle at constant speed is still accelerated, because the direction of its velocity changes at every point. Its speed is v = 2πr ÷ t, where r is the radius and t the time for one round.

• a stone whirled on a string flies off along the tangent when the string breaks — the velocity at each point is along the tangent
• the Moon round the Earth and a satellite in orbit are close to uniform circular motion

The trap: 'uniform circular motion' has constant speed but changing velocity — so it is accelerated motion, not uniform motion.

गति के ग्राफ़ पढ़ना — और वृत्तीय गति

दूरी–समय ग्राफ़

वेग–समय ग्राफ़

दूरी–समय ग्राफ़ कभी नीचे नहीं झुक सकता (दूरी कभी घटती नहीं) और कभी ऊर्ध्वाधर नहीं हो सकता (उसका अर्थ अनंत चाल होगा)।

एकसमान वृत्तीय गति — स्थिर चाल से वृत्त पर घूमता पिंड फिर भी

Teaching motion — and the errors to catch

Classroom activities

• mark a straight corridor every 2 m, time a walking student with a stopwatch, and plot the distance–time graph on the board — a straight line for a steady walk, a curve for a speeding-up run
• roll a marble down a slightly tilted board and mark its position every second: the gaps grow, showing acceleration
• compare a lap of the school ground (distance) with the straight line from gate to gate (displacement)

Errors students make

Reaction time and safety — a driver needs about 0.7 s to react. At 72 km/h (20 m/s) the car covers 14 m before the brakes are even pressed — the reason for speed limits near schools.

The trap: when a body is thrown straight up, at the top its velocity is zero but its acceleration is still g downward — acceleration does not vanish when velocity does.

गति पढ़ाना — और पकड़ने योग्य ग़लतियाँ

कक्षा की गतिविधियाँ

• सीधे गलियारे में हर 2 m पर निशान लगाइए, स्टॉपवॉच से चलते विद्यार्थी का समय लीजिए, और श्यामपट पर दूरी–समय ग्राफ़ बनाइए — स्थिर चाल के लिए सीधी रेखा, तेज़ होती दौड़ के लिए वक्र
• थोड़े झुके तख़्ते पर कंचा लुढ़काइए और हर सेकंड उसकी स्थिति अंकित कीजिए: अंतराल बढ़ते हैं, जो त्वरण दिखाते हैं
• विद्यालय मैदान के एक चक्कर (दूरी) की तुलना फाटक से फाटक तक की सीधी रेखा (विस्थापन) से कीजिए

विद्यार्थियों की ग़लतियाँ

प्रतिक्रिया समय और सुरक्षा — चालक को प्रतिक्रिया में लगभग 0.7 s लगते हैं। 72 km/h (20 m/s) पर कार ब्रेक दबने से पहले ही 14 m चल जाती है — विद्यालयों के पास गति सीमा का यही कारण है।

जाल:

Points to Remember

• distance — scalar, path length · displacement — vector, can be zero · speed scalar · velocity vector
• average speed = total distance ÷ total time · 1 km/h = 5/18 m/s
• a = (v − u) ÷ t · retardation is negative acceleration
• v = u + at · s = ut + ½at² · v² = u² + 2as — for uniform acceleration only
• 'starts from rest' — u = 0 · 'comes to rest' — v = 0 · free fall g ≈ 9.8 m/s²
• distance–time slope = speed · velocity–time slope = acceleration, area = displacement
• horizontal d–t line — at rest · horizontal v–t line — uniform velocity
• uniform circular motion is accelerated — direction changes · v = 2πr ÷ t · flies off along the tangent
• at the top of a vertical throw, v = 0 but a = g
• Exam tip: before any motion sum, write u, v, a, t and s in a column, mark the two unknowns, and choose the equation that has the other three

स्मरणीय बिंदु

• दूरी — अदिश, पथ की लंबाई · विस्थापन — सदिश, शून्य हो सकता है · चाल अदिश · वेग सदिश
• औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय · 1 km/h = 5/18 m/s
• a = (v − u) ÷ t · मंदन ऋणात्मक त्वरण है
• v = u + at · s = ut + ½at² · v² = u² + 2as — केवल एकसमान त्वरण के लिए
• 'विराम से चलती है' — u = 0 · 'विराम में आती है' — v = 0 · मुक्त पतन g ≈ 9.8 m/s²
• दूरी–समय ढाल = चाल · वेग–समय ढाल = त्वरण, क्षेत्रफल = विस्थापन
• क्षैतिज d–t रेखा — विराम · क्षैतिज v–t रेखा — एकसमान वेग
• एकसमान वृत्तीय गति त्वरित है — दिशा बदलती है · v = 2πr ÷ t · स्पर्शरेखा के अनुदिश उड़ता है
• ऊर्ध्वाधर फेंक के शिखर पर v = 0 पर a = g
• परीक्षा टिप: गति के किसी भी प्रश्न से पहले u, v, a, t और s एक स्तंभ में लिखिए, दो अज्ञात चिह्नित कीजिए, और वह समीकरण चुनिए जिसमें बाक़ी तीन हों